KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 548. Bizonyítsuk be, hogy


\prod_{i=1}^n \left(1+\frac1{x_1+\ldots+x_i}\right) +
\prod_{i=1}^n \left(1-\frac1{x_i+\ldots+x_n}\right) \le n+1

teljesül tetszőleges x_1,\ldots,x_n\ge 1 valós számok esetén.

(5 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás. Legyen S=x1+...+xn. Mindkét szorzatban minden tényező nemnegatív, ezért a tényezőket külön-külön felülről becsülhetjük:


1+\frac1{x_1+\ldots+x_i} \le 1+\frac1i = \frac{i+1}i,

illetve


1-\frac1{x_i+\ldots+x_n} = 1-\frac1{S-x_1-\dots-x_{i-1}} \le
1-\frac1{S-(i-1)} = \frac{S-i}{S-i+1}.

Tehát,


\prod_{i=1}^n \left(1+\frac1{x_1+\ldots+x_i}\right) +
\prod_{i=1}^n \left(1-\frac1{x_i+\ldots+x_n}\right)
\le


\le \prod_{i=1}^{n-1} \frac{i+1}i \cdot \left(1+\frac1S\right)
+ \prod_{i=1}^n \frac{S-i}{S-i+1} 
= n\cdot \frac{S+1}S + \frac{S-n}S = n+1.

Akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha x1=...=xn-1=1.


Az A. 548. feladat statisztikája
3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.


  • A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap