Az A. 554. feladat (2012. február)

A. 554. Az ABCD húrnégyszög köré írt kör középpontja O. Az ABO és CDO körök O-tól különböző metszéspontja a P pont, ami a DAO háromszög belsejébe esik. Válasszuk ki az OP szakasz P-n túli meghosszabbításán a Q, az OP szakasz O-n túli meghosszabbításán pedig az R pontot. Bizonyítsuk be, hogy QAP $\angle$ =OBR $\angle$ akkor és csak akkor teljesül, ha PDQ $\angle$ =RCO $\angle$ .

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen H az ABCD, ABOP, CDPO körök hatványpontja; ezen a ponton a három közül bármelyik két kör hatványvonala, azaz az AB, CD és OP egyenesek is átmennek. Abból, hogy P a rövidebbik AO, illletve DO íveken van, következik, hogy H az OP szakasz P-n túli meghosszabbításán van. A H pontra

HA^.HB=HC^.HD=HO^.HP.

(1)

Mivel ABOP húrnégyszög,

QAB $\angle$ +BRQ $\angle$ =(PAB $\angle$ +QAP $\angle$ )+(BOP $\angle$ -OBR $\angle$ )=

=(PAB $\angle$ +BOP $\angle$ )+(QAP $\angle$ -OBR $\angle$ )=180^o+(QAP $\angle$ -OBR $\angle$ ),

ezért QAP $\angle$ =OBR $\angle$ akkor és csak akkor teljesül, ha ABRQ húrnégyszög, ez pedig ekvivalens azzal, hogy HQ^.HR=HA^.HB.

Ugyanezekkel a lépésekkel, az A,D, illetve a B,C pontok szerepének felcserélésével kapjuk, hogy QAP $\angle$ =OBR $\angle$ akkor és csak akkor teljesül, ha HQ^.HR=HC^.HD.

Ezeket (1)-gyel összevetve,

$QAP\angle=OBR\angle \Longleftrightarrow HQ\cdot HR = HA\cdot HB \Longleftrightarrow HQ\cdot HR = HC\cdot HD \Longleftrightarrow PDQ\angle=RCO\angle.$

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Machó Bónis, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Machó Bónis, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?