Az A. 566. feladat (2012. szeptember) |
A. 566. (a) Bizonyítsuk be, hogy ha n2, és az pozitív valós számok szorzata 1, akkor
(b) Mutassunk példát olyan n2 egészre és pozitív valós számokra, amelyek szorzata 1, és
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. (a) Minden 2kn-re az (1+ak)k tényezőt összehasonlítjuk ak2-nel.
Ha k3, akkor a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az 1/(k-2) és ak/2 számokra a k-2 és 2 súlyokkal alkalmazva,
(1) |
Itt akkor áll egyenlőség, ha 1/(k-2)=ak/2, vagyis .
A fenti becsléseket összeszorozva,
(2) |
Ezután a triviális (1+a2)2>a22 egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk az állítást.
(b) A (2) egyenlőtlenségben egyenlőség áll, ha minden k3-ra; ekkor az kényszerfeltétel szerint .
Könnyű ellenőrizni, hogy például n=16 esetén és , így
is teljesül.
Egy lehetséges példa tehát:
Statisztika:
7 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Williams Kada.
A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai