KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 568. (September 2012)

A. 568. Given a triangle ABC and a line \ell through its incenter. Denote by A', B' and C' the mirror images of A, B and C about \ell, respectively. Let the lines through A', B' and C', parallel to \ell, meet the lines BC, CA and AB at P, Q and R, respectively. Prove that the points P, Q and R lie on a line and this line is tangent to the incircle.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Mivel az \ell egyenes átmegy a beírt kör középpontján, az A'B', B'C', C'A' egyenesek is érintik a beírt kört. Rajzoljuk meg a P ponton át a beírt kör másik, B'C'-től különböző érintőjét is; messe ez az érintő a CA és AB egyeneseket a Q*, illetve az R* pontban. Azt akarjuk megmutatni, hogy Q*=Q és R*=R.

Legyen I az \ell egyenes ideális pontja. Legyen U az \ell, a BC és a B'C' egyenesek közös pontja, V az \ell, a CA és a C'A' egyenesek közös pontja, és W az \ell, a AB és a A'B' egyenesek közös pontja. (Mivel az A',B',C' pontok az A,B,C pontok \ell-re vontakozó tükörképei, ezek a pontok valóban léteznek.)

Alkalmazzuk a Brianchon-tételt a A'VQ*PUB' hurkolt hatszögre, amelynek oldalegyenesei érintik a beírt kört. A tétel szerint a hatszög A'P, VU és Q*B' átlóegyenesei egy ponton mennek át. Mivel A'P és VU=\ell párhuzamos, a közös pont I, vagyis Q*B' is párhuzmos \ell-el. Ugyanakkor a az A'C' egyenesnek Q az a pontja, amire QB' párhuzmos \ell-el. Tehát Q*=Q.

Hasonlóan, a Brianchon-tételt az A'WR*PUC' érintőhatszögre alkalmazva láthatjuk, hogy R*C' is prhuzamos \ell-el, következésképpen R*=R.

Megjegyzés. Vannak olyan elfajuló esetek, amikor a megoldás nem mondható el ebben a formában; például ha valamelyik csúcs az \ell egyenesre esik, vagy valamelyik oldal merőleges \ell-re. Az ilyen eseteket külön meg kell vizsgálnunk, vagy pedig az általános eset határeseteiként kell előállítanunk.


Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila.
2 points:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley