Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 568. (September 2012)

A. 568. Given a triangle ABC and a line \ell through its incenter. Denote by A', B' and C' the mirror images of A, B and C about \ell, respectively. Let the lines through A', B' and C', parallel to \ell, meet the lines BC, CA and AB at P, Q and R, respectively. Prove that the points P, Q and R lie on a line and this line is tangent to the incircle.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Mivel az \ell egyenes átmegy a beírt kör középpontján, az A'B', B'C', C'A' egyenesek is érintik a beírt kört. Rajzoljuk meg a P ponton át a beírt kör másik, B'C'-től különböző érintőjét is; messe ez az érintő a CA és AB egyeneseket a Q*, illetve az R* pontban. Azt akarjuk megmutatni, hogy Q*=Q és R*=R.

Legyen I az \ell egyenes ideális pontja. Legyen U az \ell, a BC és a B'C' egyenesek közös pontja, V az \ell, a CA és a C'A' egyenesek közös pontja, és W az \ell, a AB és a A'B' egyenesek közös pontja. (Mivel az A',B',C' pontok az A,B,C pontok \ell-re vontakozó tükörképei, ezek a pontok valóban léteznek.)

Alkalmazzuk a Brianchon-tételt a A'VQ*PUB' hurkolt hatszögre, amelynek oldalegyenesei érintik a beírt kört. A tétel szerint a hatszög A'P, VU és Q*B' átlóegyenesei egy ponton mennek át. Mivel A'P és VU=\ell párhuzamos, a közös pont I, vagyis Q*B' is párhuzmos \ell-el. Ugyanakkor a az A'C' egyenesnek Q az a pontja, amire QB' párhuzmos \ell-el. Tehát Q*=Q.

Hasonlóan, a Brianchon-tételt az A'WR*PUC' érintőhatszögre alkalmazva láthatjuk, hogy R*C' is prhuzamos \ell-el, következésképpen R*=R.

Megjegyzés. Vannak olyan elfajuló esetek, amikor a megoldás nem mondható el ebben a formában; például ha valamelyik csúcs az \ell egyenesre esik, vagy valamelyik oldal merőleges \ell-re. Az ilyen eseteket külön meg kell vizsgálnunk, vagy pedig az általános eset határeseteiként kell előállítanunk.


Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila.
2 points:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012