KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 568. Given a triangle ABC and a line \ell through its incenter. Denote by A', B' and C' the mirror images of A, B and C about \ell, respectively. Let the lines through A', B' and C', parallel to \ell, meet the lines BC, CA and AB at P, Q and R, respectively. Prove that the points P, Q and R lie on a line and this line is tangent to the incircle.

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. Mivel az \ell egyenes átmegy a beírt kör középpontján, az A'B', B'C', C'A' egyenesek is érintik a beírt kört. Rajzoljuk meg a P ponton át a beírt kör másik, B'C'-től különböző érintőjét is; messe ez az érintő a CA és AB egyeneseket a Q*, illetve az R* pontban. Azt akarjuk megmutatni, hogy Q*=Q és R*=R.

Legyen I az \ell egyenes ideális pontja. Legyen U az \ell, a BC és a B'C' egyenesek közös pontja, V az \ell, a CA és a C'A' egyenesek közös pontja, és W az \ell, a AB és a A'B' egyenesek közös pontja. (Mivel az A',B',C' pontok az A,B,C pontok \ell-re vontakozó tükörképei, ezek a pontok valóban léteznek.)

Alkalmazzuk a Brianchon-tételt a A'VQ*PUB' hurkolt hatszögre, amelynek oldalegyenesei érintik a beírt kört. A tétel szerint a hatszög A'P, VU és Q*B' átlóegyenesei egy ponton mennek át. Mivel A'P és VU=\ell párhuzamos, a közös pont I, vagyis Q*B' is párhuzmos \ell-el. Ugyanakkor a az A'C' egyenesnek Q az a pontja, amire QB' párhuzmos \ell-el. Tehát Q*=Q.

Hasonlóan, a Brianchon-tételt az A'WR*PUC' érintőhatszögre alkalmazva láthatjuk, hogy R*C' is prhuzamos \ell-el, következésképpen R*=R.

Megjegyzés. Vannak olyan elfajuló esetek, amikor a megoldás nem mondható el ebben a formában; például ha valamelyik csúcs az \ell egyenesre esik, vagy valamelyik oldal merőleges \ell-re. Az ilyen eseteket külön meg kell vizsgálnunk, vagy pedig az általános eset határeseteiként kell előállítanunk.


Statistics on problem A. 568.
7 students sent a solution.
5 points:Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila.
2 points:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley