KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 576. (December 2012)

A. 576. Find all positive integers n, nonzero reals c_1,c_2,\ldots,c_n and real t for which there exists a finite, nonempty set \{A_1,A_2,\ldots,A_n\} of points in the plane S and a nonconstant function f\colon S\to\mathbb{R} such that


\sum_{i=1}^n c_if\big(\varphi(A_i)\big)=t

for every similarity transformation \varphi of the plane S.

Proposed by: Tamás Ágoston, Budapest and Márton Mester, Cambridge

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen tetszőleges \varphi-ra P1,i=\varphi(Ai) minden i-re. Legyen Q egy minden P1,i-től különböző pont a síkon. Ekkor legyen a Q középpontú, P1,1-et P1,i-be vivő (egyértelmű) forgatva nyújtás aránya \lambdai, szöge (pozitív irányban) \alphai minden i-re. A P1,1 középpontú, \lambdaj arányú, \alphaj szögű forgatva nyújtás vigye a P1,i pontot a Pj,i pontba minden i és j esetén.

Ekkor P1,1=P2,1=...=Pn,1, valamint minden j-re a P_{j,1},P_{j,2},\ldots,P_{j,n} pontokhoz van olyan {\cal G}_j hasonlósági transzformációja S-nek, hogy minden i-re {\cal
G}_j(A_i)=P_{j,i}, hiszen ez a \varphi és a P1,1 középpontú, \alphaj szögű, \lambdaj arányú forgatva nyújtás egymásutánja.

És minden i\geq2-re létezik S-nek olyan {\cal F}_i hasonlósági transzformációja, hogy minden j-re {\cal
  F}_i(A_j)=P_{j,i}. Ugyanis ha {\cal F}'_i az az egyértelmű körüljárástartó hasonlósági transzformációja S-nek, melyre Q képe P1,1, és P1,1 képe P1,i, akkor a \varphi és a {\cal
  F}'_i szorzata megfelel {\cal F}_i-nek. Hiszen minden j-re a Pj,i pont definíciója szerint a P1,iP1,1Pj,i irányított szög \alphaj=P1,1QP1,j\angle, és {\overline{P_{1,1}P_{j,i}}\over\overline{P_{1,1}P_{1,i}}}=\lambda_j={\overline{QP_{1,j}}\over\overline{QP_{1,1}}}, vagyis {\cal F}_i(A_j)={\cal F}'_i\left(\varphi(A_j)\right)={\cal
  F}'_i(P_{1,j})=P_{j,i}.

Így az f-re adott föltételt használva

\displaylines{
\sum_{j=1}^n{c_j\over c_1}t=\sum_{j=1}^n\left({c_j\over c_1}\sum_{i=1}^n c_if({\cal G}_j(A_i))\right)=
\sum_{j=1}^n\left({c_j\over c_1}\sum_{i=1}^n c_if(P_{j,i})\right)=\cr
=\left(\sum_{j=1}^nc_j\right)f(P_{1,1})+
\sum_{i=2}^n\left({c_i\over c_1}\sum_{j=1}^n c_jf(P_{j,i})\right)=\left(\sum_{j=1}^nc_j\right)f(P_{1,1})+
\sum_{i=2}^n\left({c_i\over c_1}\sum_{j=1}^n c_jf({\cal F}_i(A_j))\right)=\cr
=\left(\sum_{j=1}^nc_j\right)f(P_{1,1})+\sum_{i=2}^n{c_i\over c_1}t.\cr
}

Ebből azonnal adódik, hogy

f(P_{1,1})\sum_{j=1}^nc_j={c_1\over c_1}t=t,

azaz ha \sum_{j=1}^nc_j\neq 0, akkor minden \varphi esetén, és így minden P1,1 pontra

f(P_{1,1})={t\over\sum_{j=1}^nc_j},

vagyis f mindenképpen konstans függvény.

Ha \sum_{j=1}^nc_j=0, akkor a föntiekből t=0 is rögtön adódik. Ha n=1, akkor c1=0, és a föltétel üres (0=0), így nyilván van nemkonstans megoldás. Ha n=2, akkor c2=-c1, így a föltétel az, hogy tetszőleges P,Q\inS esetén (két különböző pont tetszőleges két másik különböző pontba átvihető hasonlósági transzfromációval) c1f(P)-c1f(Q)=0, vagyis f(P)=f(Q), azaz ekkor a függvény mindenképpen konstans. A továbbiakban az n\geq3 esettel foglalkozunk.

Jó nemkonstans f függvényt pedig mindig tudunk találni az A ponthalmaz alkalmas választásával. Ha az S sík pontjait megkoordinátázzuk, akkor legyenek az A_1,A_2,\ldots,A_n pontok koordinátái rendre (x_1,0),(x_2,0),\ldots,(x_n,0), ahol ezekre \sum_{i=1}^nc_ix_i=0, az f függvény pedig képezze az (x,y) pontot az x-be. Ez a függvény nemkonstans, és belátjuk, hogy teljesíti a föltételeket.

(Ilyen tulajdonságú, különböző xi-ket mindig tudunk választani, hiszen ha az x_1,x_2,\ldots, xn-1 értékeket tetszőleges különböző valós számoknak megválasztjuk, akkor cn\neq0 miatt ezekhez egyértelműen létezik egy jó 
x_n=-{\sum_{i=1}^{n-1}c_ix_i\over c_n}. És ha ez valamelyik xi-vel egyenlő lenne, akkor egy j\neqi, 1\leqj\leqn-1 egészre az xj értékét egy olyan \varepsilon-nal megnövelve, hogy \varepsilon>0, és \left|{c_j\over
    c_n}\right|\varepsilon+\varepsilon<\min\limits_{1\leq k<\ell\leq
  n-1}{\left|x_k-x_{\ell}\right|} (ilyen \varepsilon van, hiszen cn\neq0, és a kifejezésben x_k\neq x_{\ell}), a kapott x_1',x_2',\ldots,x_n' jó lesz (az xn' értékét az új xk' értékekből számoljuk). Ugyanis az xj\varepsilon-nal, az xn csökken {c_j\over c_n}\varepsilon-nal, a többi xk pedig nem változik. Így \varepsilon>0 és cj>0 miatt xn'\neqxi=xi', és az \varepsilon-ra adott föltétel miatt \left(1+\left|{c_j\over
      c_n}\right|\right)\varepsilon<|x_i-x_j|=|x_n-x_j|, vagyis xn'\neqxj', valamint minden i,j-től különböző k-ra \left(1+\left|{c_j\over
      c_n}\right|\right)\varepsilon<|x_i-x_k|=|x_n-x_k|, így xn'\neqxk'. És végül ugyanemiatt xj' se lesz egyenlő semelyik xk'-vel sem. Tehát valóban jó xk értékeket kaptunk.)

Ha tekintjük a \varphi(A)=\{\varphi(A_1),\varphi(A_2),\ldots,\varphi(A_n)\} halmazt, akkor azon az egyenesen, melybe a \varphi az x-tengelyt vitte, vagyis amelyiken ezek a pontok vannak, a hasonlóság miatt a \varphi(Ai) pontok ugyanolyan arányokban osztják a \varphi(A1)\varphi(A2) szakaszt (negatív arányokat is megengedünk, az osztási arányon az \varphi(A1)\varphi(Ai) és a \varphi(Ai)\varphi(A2) irányított szakaszok arányát értve), mint az Ai az A1A2 szakaszt. Így ez akkor is igaz, ha a \varphi(Aj) pontok helyett ezeknek az x-tengelyre vett merőleges vetületeit nézzük, és így a \varphi(Aj) pontok xj'-vel jelölt x-koordinátáira vannak olyan \lambda és s valós számok, hogy minden j-re

xj'=\lambdaxj+s.

Így

\sum_{i=1}^nc_if(\varphi(A_i))=\sum_{i=1}^nc_i(\lambda
x_i+s)=\lambda\sum_{i=1}^nc_ix_i+s\sum_{i=1}^nc_i=\lambda\sum_{i=1}^nc_ix_i,

amiről pedig már A megválasztásánál biztosítottuk, hogy 0 legyen.

Tehát pontosan akkor létezik a kívánt tulajdonságú f függvény és A ponthalmaz, ha \sum_{i=1}^nc_i=0, t=0, és n\neq2.


Statistics:

1 student sent a solution.
1 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley