KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 582. (February 2013)

A. 582. Let p be a fixed positive prime. For any polynomial f(x) with integer coefficients, let f*(x)=f((1+x)p-1). Find all polynomials g with integer coefficients for which the following holds: for every positive integer n there is a polynomial f with integer coefficients such that the coefficients of g-(f-f*) with degree less than n are all divisible by pn.

Proposed by: Péter Maga, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Nevezzük az ilyen tulajdonságú g polinomokat "jó" polinomoknak. Megmutatjuk, hogy tetszőleges g polinom akkor és csak akkor jó, ha g konstans tagja 0, azaz g(0)=0.

(a) Tegyük fel, hogy g jó polinom; megmutatjuk, hogy g(0)=0. Vegyünk egy olyan n pozitív egészt, amire pn>|g(0)|. A feltevésünk szerint van olyan egész együtthatós f polinom, amire g-(f-f*) n-nél kisebb fokú együtthatói mind oszthatók pn-nel. Az x=0 helyettesítéssel láthatjuk, hogy g(0)-f(0)+f*(0)=g(0) osztható pn-nel. Mivel |g(0)|<pn, ez csak úgy lehet, ha g(0)=0.

(b) Most tegyük fel, hogy g(0)=0, és legyen n tetszőleges pozitív egész. Ezekhez konstruálunk egy megfelelő f polinomot.

Legyen I azoknak az egész együtthatós polinomoknak a rendszere, amelyek konstans tagja 0, és az n-nél kisebb fokú együtthatóik mind oszthatók pn-nel. Olyan f-re van szükségünk, amire g-f+f*\inI.

1. állítás. I-beli polinomok összege, szorzata, egész kitevős hatványa és egész számszorosa is I-beli. (Triviális.)

2. állítás. Tetszőleges k pozitív egészre legyen gk az a polinom, amit úgy kaphatunk, hogy a g polinomra k-szor alkalmazzuk a * operációt: g_k = (...(g^*\underbrace{)^*)...)^*}_k. Ekkor gk(x)=g((x+1)pk-1).

Bizonyítás: k szerinti teljes indukció.

3. állítás. Legyen h(x)=(x+1)p2n-1. Ekkor h\inI.

Bizonyítás: Tiviálisan h(0)=0. Ha 0<m<n, akkor m<pn, és h m-edfokú együtthatója, \binom{p^{2n}}{m}=\frac{p^{2n}}{m}\cdot\binom{p^{2n}-1}{m-1} biztosan osztható pn-nel.

4. állítás. g2n\inI.

Bizonyítás: A 2. állítás szerint g2n(x)=g(h(x)), ami a 3. állítás, a g(0)=0 feltétel és az 1. állítás miatt I-ben van.

Az f polinom konstrukciója: Legyen f=g+g1+...+g2n-1. Ekkor

g-f+f*=g-(g+g1+...+g2n-1)+(g+g1+...+g2n-1)*=g-(g+g1+...+g2n-1)+(g1+...+g2n)=g2n\inI.


Statistics:

3 students sent a solution.
5 points:Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.
1 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley