KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 593. Let a, b, c be positive real numbers. Prove that


\root3\of{7a^2b+1}+\root3\of{7b^2c+1}+\root3\of{7c^2a+1} \le
\frac{23}{12}(a+b+c) +
\frac1{12} \left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right).

Based on problem 1 of MEMO 2013

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2013.


Solution. The function f(x)=\root3\of{x} is concave on (0,\infty), therefore


\root3\of{x} = f(x) \le f(u) + f'(u)(x-u) = \root3\of{u} + \frac1{3\big(\root3\of{u}\big)^2} (x-u)

holds for all u,x>0. In particular, for u=8a3 and x=7a2b+1 we get


\root3\of{7a^2b+1} \le 2a + \frac1{12a^2}(7a^2b+1-8a^3)
= \frac43a + \frac7{12}b + \frac1{12a^2}.

Summing up the analogous upper bouds on the other two terms,


\root3\of{7a^2b+1}+\root3\of{7b^2c+1}+\root3\of{7c^2a+1} \le


\le\left(\frac43a + \frac7{12}b + \frac1{12a^2}\right) +
\left(\frac43b + \frac7{12}c + \frac1{12b^2}\right) +
\left(\frac43c + \frac7{12}a + \frac1{12c^2}\right) =


= \frac{23}{12}(a+b+c) + \frac1{12} \left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right).


Statistics on problem A. 593.
39 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Makk László, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:Emri Tamás, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk.
3 points:10 students.
2 points:2 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley