KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 595. (September 2013)

A. 595. Let p be a positive prime number for which there is a positive integer a such that p divides 2a2-1. Prove that there exist integers b and c such that p=2b2-c2.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A megoldás fő eszköze a következő lemma.

Lemma. Léteznek olyan x,y egész számok, amikre ax\equiv y\pmod{p} és 0<|x|,|y|<\sqrt{p}.

Bizonyítás. Legyen N=\big[\sqrt{p}\big], és helyezzük el a 0,a,2a,...,Na modulo p maradékosztályokat egy p kerületű kör mentén. Ezek a pontok a kört N+1 ívre osztják, ezért biztosan van az ívek között legfeljebb \frac{p}{N+1}<\sqrt{p} hosszúságú; valamelyik két 0\lei<j\leN indexre az ia és ja pontok távolsága kisebb, mint \sqrt{p}. Legyen x=j-i és y\equivxa=(ja-ia); ekkor tehát 0<x\le N<\sqrt{p} és elérhető, hogy |y|<\sqrt{p}. A konstrukció szerint x biztosan nem osztható p-vel; ebből következik, hogy y sem lehet 0.

Azt állítjuk, hogy például a b=y, c=x választás megfelelő.

Mivel b,c\ne0 és a 2 nem négyzetszám, 2b2-c2\ne0.

A feladat feltétele szerint


2b^2-c^2 = 2y^2-x^2 \equiv 2(ax)^2-x^2 = (2a^2-1)x^2 \equiv 0
\pmod{p},

vagyis 2b2-c2 osztható p-vel.

Továbbá -p<2b2-c2<2p. Tehát, a 2b2-c2 egyetlen lehetséges értéke a p.


Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:Csernák Tamás, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Petrényi Márk, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:Mattia Tiso.
3 points:1 student.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley