Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 596. (October 2013)

A. 596. Find all integers k\ge3 with the property that for every infinite sequence P1,P2,... of points in the plane such that no three of them are collinear, there exists a sequence 1\le i_1<i_2<\ldots<i_k of integers for which the points P_{i_1},P_{i_2},\ldots,P_{i_k}, in that order, form a convex k-gon.

Proposed by: László Surányi, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Tetszőleges k-hoz léteznek megfelelő i1<...<ik indexek.

Színezzük ki az {P1,P2...} halmaz háromelemű részhalmazait két színnel: tetszőleges i<j<k indexekre az {i,j,k} halmaz színe legyen piros, ha a PiPjPk háromszög pozitív, illetve kék, ha a PiPjPk háromszög negatív körüljárású. Az, hogy a P_{i_1}\ldots P_{i_k} szokszög konvex, ekvivalens azzal, hogy az \{i_1,\ldots,i_k\} halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.

A Ramsey-tétel hipergráfokra vonatkozó kiterjesztése szerint ha N elég nagy, akkor tetszőleges színezés esetén vannak olyan 1\le i_1<\ldots<i_k\le N indexek, amelyekre az \{i_1,\ldots,i_k\} halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.


Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:Kúsz Ágnes.
3 points:1 student.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013