Problem A. 596. (October 2013)

A. 596. Find all integers k $\ge$ 3 with the property that for every infinite sequence P₁,P₂,... of points in the plane such that no three of them are collinear, there exists a sequence $1\le i_1<i_2<\ldots<i_k$ of integers for which the points $P_{i_1},P_{i_2},\ldots,P_{i_k}$ , in that order, form a convex k-gon.

Proposed by: László Surányi, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Tetszőleges k-hoz léteznek megfelelő i₁<...<i_k indexek.

Színezzük ki az {P₁,P₂...} halmaz háromelemű részhalmazait két színnel: tetszőleges i<j<k indexekre az {i,j,k} halmaz színe legyen piros, ha a P_iP_jP_k háromszög pozitív, illetve kék, ha a P_iP_jP_k háromszög negatív körüljárású. Az, hogy a $P_{i_1}\ldots P_{i_k}$ szokszög konvex, ekvivalens azzal, hogy az $\{i_1,\ldots,i_k\}$ halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.

A Ramsey-tétel hipergráfokra vonatkozó kiterjesztése szerint ha N elég nagy, akkor tetszőleges színezés esetén vannak olyan $1\le i_1<\ldots<i_k\le N$ indexek, amelyekre az $\{i_1,\ldots,i_k\}$ halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.

Statistics:

12 students sent a solution.

5 points: Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.

4 points: Kúsz Ágnes.

3 points: 1 student.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

12 students sent a solution.
5 points:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:	Kúsz Ágnes.
3 points:	1 student.
0 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?