KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 596. (October 2013)

A. 596. Find all integers k\ge3 with the property that for every infinite sequence P1,P2,... of points in the plane such that no three of them are collinear, there exists a sequence 1\le i_1<i_2<\ldots<i_k of integers for which the points P_{i_1},P_{i_2},\ldots,P_{i_k}, in that order, form a convex k-gon.

Proposed by: László Surányi, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on 11 November 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Tetszőleges k-hoz léteznek megfelelő i1<...<ik indexek.

Színezzük ki az {P1,P2...} halmaz háromelemű részhalmazait két színnel: tetszőleges i<j<k indexekre az {i,j,k} halmaz színe legyen piros, ha a PiPjPk háromszög pozitív, illetve kék, ha a PiPjPk háromszög negatív körüljárású. Az, hogy a P_{i_1}\ldots P_{i_k} szokszög konvex, ekvivalens azzal, hogy az \{i_1,\ldots,i_k\} halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.

A Ramsey-tétel hipergráfokra vonatkozó kiterjesztése szerint ha N elég nagy, akkor tetszőleges színezés esetén vannak olyan 1\le i_1<\ldots<i_k\le N indexek, amelyekre az \{i_1,\ldots,i_k\} halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.


Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:Kúsz Ágnes.
3 points:1 student.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley