Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 596. feladat (2013. október)

A. 596. Határozzuk meg azokat a k\ge3 egész számokat, amikre teljesül, hogy bármely P1,P2,... síkbeli, végtelen pontsorozathoz, amelyben semelyik három pont nincs egy egyenesen, léteznek olyan 1\le i_1<i_2<\ldots<i_k egészek, amelyekre a P_{i_1},P_{i_2},\ldots,P_{i_k} pontok ebben a sorrendben konvex k-szöget alkotnak.

Javasolta: Surányi László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Tetszőleges k-hoz léteznek megfelelő i1<...<ik indexek.

Színezzük ki az {P1,P2...} halmaz háromelemű részhalmazait két színnel: tetszőleges i<j<k indexekre az {i,j,k} halmaz színe legyen piros, ha a PiPjPk háromszög pozitív, illetve kék, ha a PiPjPk háromszög negatív körüljárású. Az, hogy a P_{i_1}\ldots P_{i_k} szokszög konvex, ekvivalens azzal, hogy az \{i_1,\ldots,i_k\} halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.

A Ramsey-tétel hipergráfokra vonatkozó kiterjesztése szerint ha N elég nagy, akkor tetszőleges színezés esetén vannak olyan 1\le i_1<\ldots<i_k\le N indexek, amelyekre az \{i_1,\ldots,i_k\} halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.


Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:Kúsz Ágnes.
3 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai