KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 597. (October 2013)

A. 597. The circles k0, k1, k2, k3 and k4 lie in the plane in such a way that for i=1,2,3,4 the circle ki is externally tangent to k0 at point Ti, and ki is externally tangent to ki+1 at point Si (k5=k1). Let O be the center of k0. Let the lines T1T3 and T2T4 meet at T, and let the lines S1S3 and S2S4 meet at S. Prove that the points O, T and S are collinear.

Proposed by: Márton Mester, Cambridge

(5 pont)

Deadline expired on 11 November 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás (vázlat). Először megmutatjuk, hogy az S1, S2, S3, S4 pontok egy körön vannak. Jelöljük ti-vel a k1 és ki+1 közös belső érintőjét. Az SiSi+1 húrok ugyanakkora szöget zárnak be a ti és ti-1 érintőkkel. Ebből láthatjuk, hogy az S1S2S3S4 négyszög szemközti összeinek összege egyenlő, S1S2S3S4 húrnégyszög. Jelöljük a körülírt körét u-val, u középpontját U-val.

Legyen x és y az a két kör, ami átmegy T1-en és T3-on, illetve T2-n és T4-en, továbbá merőleges k0-ra. A k1 és k3 szintén merőleges x-re, az x-re való tükrözés (inverzió) ezért önmagára képezi a k0, k1 és k3 köröket. Mivel k0, k1 és k3 egyértelműen meghatározza k2-t és k4-et, a k2 és k4 egymás x-re vonatkozó tükörképe. Ebből következik, hogy a T2 és T4 pontok, az S1 és S4 pontok, továbbá az S2 és S3 pontok is egymás x-re vonatkozó tükörképei, az y kör pedig önmaga tükörképe, tehát x és y merőleges egymásra. Az u kör szintén önmaga tükörképe, ezért u is merőleges x-re. Hasonlóan, a k1 és k3 körök, a T1 és T3 pontok, az S1 és S2 pontok, illetve a S3 és S4 pontok egymás y-ra vonatkozó tükörképei, továbbá az y kör merőleges k0-ra, k2-re, k4-re és u-ra.

Legyen P és Q az x és y körök két metszéspontja. Azt fogjuk megmutatni, hogy O, U, T és S is az x és y körök PQ hatványvonalán van.

Mivel x és y is merőleges k0-ra, a P és Q pontok egymás tükörképei a k0 körre, ezért k0 középpontja, O is a PQ egyenesen van. Hasonlóan, mivel u merőleges x-re és y-ra, az u középpontja, U is a hatványvonalon van.

Az T1T3 egyenes a k0 és az x hatványvonala, az T2T4 egyenes pedig a k0 és az y hatványvonala. Tehát T a k0, x és y körök hatványpontja. ami a harmadik hatványvonalon, az PQ egyenesen van.

Tekintsük most a PQS1, PQS2 és PQS4, köröket. A PQS1 tükörképe x-re PQS4, y-ra PQS2. Mivel x és y merőleges egymásra, a PQS4 és PQS2 iránya a P és Q pontban megegyezik. Tehát a PQS4 és a PQS2 kör ugyanaz; jelöljük ezt a kört m-mel. Hasonlóan látjuk, hogy P,Q,S1,S3 egy körön van; ezt a kört jelöljük n-nel. Az u, m és n körök hatványpontja az S=S1S3\capS2S4 pont, amin átmegy m és n hatványvonala, a PQ egyenes.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy az O, S és T pontok a PQ egyenesen vannak.

A megoldás akkor is elmondható, ha az x és y körök valamelyike egyenessé fajul. Ha mindkettő egyenes, akkor az O,U,S,T pontok egybeesnek.

2. megoldás (vázlat). Az előző megoldáshoz hasonlóan láttjuk, hogy S1S2S3S4 húrnégyszög, körülírt köre legyen u, középpontja U. Az u kör SiSi+1 íve a ki+1 körben fekszik, így a k1,k2,k3,k4 körök lefedik u-t, míg ugyezek a körök kívülről érintik k0-t. Ezért a k0 és u közöknek ninics közös pontja. Ebből következik, hogy létezik olyan térbeli inverzió, ami a k0 és u köröket párhuzamos (síkú) körökbe viszi. Tekintsünk egy ilyen inverziót; a pólusa legyen X, az egyes objektumok képét ' fogja jelölni a szokásos módon. A sík képe egy gömbfelület, a körök és egyenesek képe egy-egy, a gömbre illeszkedő kör; egymást érintő görbék képei egymást érintő görbék.

Minden egyes i-re a ki' és u' körök szöge, valamint a ki+1' és u' körök szöge 180o-ra egésziti ki egymást. Ebből következik, hogy k1' és k3', illetve k2' és k4' ugyanakkora, S1'S2'S3'S4' téglalap, T1'T2'T3'T4' pedig négyzet.

Legyen S*=S1'S3'\capS3'S4' és T*=T1'T3'\capT3'T4' az u', iletve a k0' kör középpontja. Mivel X, Ti és Ti' egy egyenesre esik, az X,Ti,Ti+2,Ti',Ti+2' pontok egy síkra esnek (i=1,2). E két sík metszésvonala XT*T. Hasonlóan, X,S*,S egy egyenesen van.

Az XS*T* síkra a k0' és az u' kör is szimmetrikus, ezért az inverzeik is; ezért középpontjaik, O, illetve U a XS*T* síkban van.

Az O,U,S,T pontok mindegyike az eredeti sík és a XS*T* sík közös részén helyezkedik el, ez a négy pont tehát egy egyenesen van.

Megjegyzés. Térbe kilépés helyett az k0 és u köröket koncentrikus körökbe is átvihetjük alkalmas inverzióval. Az Olvasóra bízzuk ennek a megközelítésnek a befejezését.


Statistics:

9 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Machó Bónis, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Williams Kada.
2 points:1 student.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley