KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 598. (October 2013)

A. 598. Denote by un the nth Fibonacci number (u1=u2=1, un+1=un+un-1). Prove that if a,b,c>1 are integers such that a divides ub, b divides uc and c divides ua, then 5 divides a, b and c, or 12 divides a, b and c.

(5 pont)

Deadline expired on 11 November 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Tetszőleges m-re az m-mel osztható Fibonacci-számok indexei egy számtani sorozatot alkotnak, amelyben a 0 is szerepel; jelöljük ennek differenciáját dm-mel. Könnyű ellenőrizni, hogy d2=3, d3=4, d4=6, d5=5, d6=12 és d12=12.

Ha a,b,c között van 5-tel osztható, mondjuk 5|a, akkor


5\big|a\big|u_b ~\Rightarrow~
5=d_5\big|b\big|u_c ~\Rightarrow~ 
5=d_5\big|c,

vagyis a,b,c mindegyike osztható 5-tel.

Ha a,b,c között van 3-mal osztható, mondjuk 3|a, akkor


3\big|a\big|u_b ~\Rightarrow~ 
4=d_3\big|b\big|u_c ~\Rightarrow~ 
6=d_4\big|c\big|u_a ~\Rightarrow~ 
12=d_6\big|a\big|u_b ~\Rightarrow~ 
12=d_{12}\big|b\big|u_c ~\Rightarrow~ 
12=d_{12}\big|c\big|u_a,

vagyis a,b,c mindegyike osztható 12-vel.

Ha a,b,c között van páros, mondjuk 2|a, akkor 2|a|ub miatt 3=d2|b, tehát a számok között van 3-mal osztható is, az előző bekezdés szerint tehát a,b,c is osztható 12-vel.

A továbbiakban feltételezzük, hogy abc legkisebb prímosztója p\ge7. Az a,b,c szerepének szimmetriája miatt feltehetjük, hogy p|a.

A dp szám osztója az úgynevezett \pi(p) Pisano-periódusnak. Az is ismert, hogy ha p prím és p\ne5, akkor \pi(p)|p2-1, tehát dp|\pi(p)|p2-1 és így

p|udp|up2-1.

(Általánosabban, ha p\equiv\pm1\pmod5, akkor dp|p-1, p\equiv\pm2\pmod5 esetén pedig dp|p+1.)

Másrészt

p|a|ub,

amiből

p|gcd(up2-1,ub)=ugcd(p2-1,b).

A b szám mindegyik prímosztója p, vagy legalább p+2, ezek egyike sem osztója p2-1=(p-1)(p+1)=nek. Ezért ugcd(p2-1,b)=u1=1, azaz p|1, ami ellentmondás. Ez az eset tehát nem lehetséges.


Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
1 point:1 student.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley