KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 600. Show that for every closed polygonal disk \mathcal{K} there exists a real number \alpha such that for arbitrary positive integer n and any points A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{K} there is a point X\in\mathcal{K} satisfying \frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n} = \alpha.

Based on a problem of CIIM5, Colombia

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. A {\cal K} halmaz minden egyes véges, nem üres {\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\} részhalmazára definiáljuk az f_{\cal A} függvényt a következőképpen:

 f_{\cal A}:{\cal K}\to\mathbb{R}, \qquad
 f_{\cal A}(X) = \frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n}.

Az f_{\mathcal{A}} függvény folytonos, az értékkészlete pedig egy korlátos, zárt intervallum; jelöljük ezt I_{\cal A}-val:

 I_{\cal A} = \big\{ f_{\cal A}(X): X\in{\cal K}\big\}.

A állítás ekvivalens azzal, hogy az összes I_{\cal A} intervallumnak van közös eleme.

Az 1-dimenziós Helly-tétel szerint ha korlátos, zárt intervallumok egy halmazában bármely két (nem feltétlenül különböző) intervallumnak van közös eleme, akkor az összes intervallumnak van közös eleme. (Közös elem például az alsó végpontok legkisebb felső korlátja.)

A Helly-tétel miatt elég azt megmutatnunk, hogy tetszőleges {\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\} és {\cal B}=\{B_1,\dots,B_k\} halmazokra az I_{\cal A} és az I_{\cal B} intervallumnak van közös eleme. Egy ilyen közös elem például a következő:


\frac1{nk} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k |A_iB_j| =
\frac{f_{\cal A}(B_1)+\ldots+f_{\cal A}(B_k)}{k} =
\frac{f_{\cal B}(A_1)+\ldots+f_{\cal B}(A_n)}{n}.


Statistics on problem A. 600.
6 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Simon 047 Péter.
2 points:1 student.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley