KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 600. (November 2013)

A. 600. Show that for every closed polygonal disk \mathcal{K} there exists a real number \alpha such that for arbitrary positive integer n and any points A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{K} there is a point X\in\mathcal{K} satisfying \frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n} = \alpha.

Based on a problem of CIIM5, Colombia

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A {\cal K} halmaz minden egyes véges, nem üres {\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\} részhalmazára definiáljuk az f_{\cal A} függvényt a következőképpen:

 f_{\cal A}:{\cal K}\to\mathbb{R}, \qquad
 f_{\cal A}(X) = \frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n}.

Az f_{\mathcal{A}} függvény folytonos, az értékkészlete pedig egy korlátos, zárt intervallum; jelöljük ezt I_{\cal A}-val:

 I_{\cal A} = \big\{ f_{\cal A}(X): X\in{\cal K}\big\}.

A állítás ekvivalens azzal, hogy az összes I_{\cal A} intervallumnak van közös eleme.

Az 1-dimenziós Helly-tétel szerint ha korlátos, zárt intervallumok egy halmazában bármely két (nem feltétlenül különböző) intervallumnak van közös eleme, akkor az összes intervallumnak van közös eleme. (Közös elem például az alsó végpontok legkisebb felső korlátja.)

A Helly-tétel miatt elég azt megmutatnunk, hogy tetszőleges {\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\} és {\cal B}=\{B_1,\dots,B_k\} halmazokra az I_{\cal A} és az I_{\cal B} intervallumnak van közös eleme. Egy ilyen közös elem például a következő:


\frac1{nk} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k |A_iB_j| =
\frac{f_{\cal A}(B_1)+\ldots+f_{\cal A}(B_k)}{k} =
\frac{f_{\cal B}(A_1)+\ldots+f_{\cal B}(A_n)}{n}.


Statistics:

6 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Simon 047 Péter.
2 points:1 student.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley