Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 600. (November 2013)

A. 600. Show that for every closed polygonal disk \mathcal{K} there exists a real number \alpha such that for arbitrary positive integer n and any points A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{K} there is a point X\in\mathcal{K} satisfying \frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n} = \alpha.

Based on a problem of CIIM5, Colombia

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A {\cal K} halmaz minden egyes véges, nem üres {\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\} részhalmazára definiáljuk az f_{\cal A} függvényt a következőképpen:

 f_{\cal A}:{\cal K}\to\mathbb{R}, \qquad
 f_{\cal A}(X) = \frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n}.

Az f_{\mathcal{A}} függvény folytonos, az értékkészlete pedig egy korlátos, zárt intervallum; jelöljük ezt I_{\cal A}-val:

 I_{\cal A} = \big\{ f_{\cal A}(X): X\in{\cal K}\big\}.

A állítás ekvivalens azzal, hogy az összes I_{\cal A} intervallumnak van közös eleme.

Az 1-dimenziós Helly-tétel szerint ha korlátos, zárt intervallumok egy halmazában bármely két (nem feltétlenül különböző) intervallumnak van közös eleme, akkor az összes intervallumnak van közös eleme. (Közös elem például az alsó végpontok legkisebb felső korlátja.)

A Helly-tétel miatt elég azt megmutatnunk, hogy tetszőleges {\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\} és {\cal B}=\{B_1,\dots,B_k\} halmazokra az I_{\cal A} és az I_{\cal B} intervallumnak van közös eleme. Egy ilyen közös elem például a következő:


\frac1{nk} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k |A_iB_j| =
\frac{f_{\cal A}(B_1)+\ldots+f_{\cal A}(B_k)}{k} =
\frac{f_{\cal B}(A_1)+\ldots+f_{\cal B}(A_n)}{n}.


Statistics:

6 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Simon 047 Péter.
2 points:1 student.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013