Problem A. 605. (January 2014)
A. 605. Let k, m and n be positive integers with mn, and let be real numbers. Prove that
Proposed by: Péter Erben and János Pataki, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először azt fogjuk igazolni, hogy tetszőleges számokra
(1) |
A változók rendezettsége miatt minden 1im-re
így
(2) |
A súlyozott számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenségból
tehát
(3) |
Az (1) egyenlőtlenséget a (2) és (3) összevetéséből kapjuk.
A feladat megoldásához legyen , és írjuk fel (1)-et az xi=aik/m számokra. Ekkor xim=aik és xim+n=aip, tehát
m/k-adik hatványra emelve
(4) |
Végül, mivel p2kk+1, a hatványközepek közötti egyenlőtlenségből
(5) |
A (4) és az (5) együtt bizonyítja a feladat állítását.
Megjegyzés. Az állításban egyenlőség csak a triviális esetben van. Ennek szükségességét leolvashatjuk például a (2) egyenlőtlenségből.
Statistics:
13 students sent a solution. 5 points: Fehér Zsombor, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada. 4 points: Ágoston Péter. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014