KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 607. (January 2014)

A. 607. The circles k1, k2 and k3 are pairwise externally tangent to each other; the point of tangency between k1 and k2 is T. One of the external common tangents of k1 and k2 meets k3 at points P and Q. Prove that the internal common tangent of k1 and k2 bisects the arc PQ of k3 which is closer to T.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás (vázlat). Legyen M a k3 kör T-hez közelebbi PQ ívének felezőpontja, és jelöljük m-mel a TPQ kört. Azt fogjuk bizonyítani, hogy az m kör középpontja az M pont, és ez rajta van k1 és k2 közös belső érintőjén. Ebből a feladat állítása azonnal következik.

Legyen k1 és k3 érintési pontja U, k2 és k3 érintési pontja V, a PQ egyenes érintési pontja k1-n X, k2-n pedig Y. Legyen H a k1 és k2 külső hasonlósági pontja, és legyen t a H középpontú, T-n átmenő kör. A három hasonlósági pont tétele miatt H,U,V kollineáris. (Ha k1 és k2 ugyanakkora, akkor t a két kör közös belső érintője, és UV párhuzamos a centrálissal.)

Az k1 és k2 egymás tükörképe (inverze) a t körre, amiből következik, hogy X és Y, továbbá U és V is szimmetrikus t-re, a k3 pedig önmaga tükörképe. Az XY egyenes is szimmetrikus t-re, így k3 és XY két metszéspontja, P és Q is szimmetrikus t-re. Ebből pedig következik, hogy az m kör szimetrikus t-re; így m a T pontban merőlegesen metszi t-t, k1-et és k2-t; ezért a k1 és k2 közös belső érintője átmegy m középpontján.

A k1-hez X-ben és a k3-hoz M-ben húzott érintők párhuzamosak, ezért a k1-et k3-ba vivő, U középpontú középpontos hasonlóság X-et M-be viszi. Tehát az XM szakasz átmegy U-n. Hasonlóan látható, hogy az YM szakasz átmegy V-n.

A P és Q pontokon át csak két olyan egyenes vagy kör húzható, ami érinti k1-et és k2-t is: a k3 kör és PQ egyenes. Mint láttuk, az k1 és k2 merőlegesen metszi m-et, ezért k1 és k2 is szimmetrikus m-re. Ebből láthatjuk, hogy a két P,Q-n átmenő, k1-et és k2-t érintő kör/egyenes egymás m-re vonatkozó tükörképe. Tehát a k3 kör és a PQ egyenes, az X és az U pont, illetve a Y és a V pont is egymás m-re vonatkozó tükörképe. Ezért az XU és az YV egyenes is átmegy m középpontján. Tehát M=XU\capYV az m kör középpontja.

Megjegyzés. Az m-re való szimmetria könnyebben felfedezhető, ha felrajzoljuk az ábra T pontra vonatkozó inverzét. (Az inverzió megtartja a körre és egyenesre való szimmetriát.)

2. megoldás (vázlat). Legyen a k1 és k2 közös belső érintője és a k3 kör T-hez közelebbi, illetve T-től távolabbi metszéspontja M, illetve R, és legyen a PQ egyenes érintési pontja k1-en X, k2-n pedig Y.

A Sawayama-lemmát (ld. pl. itt vagy itt vagy itt) a PQR háromszögre és a k1 körre alkalmazva láthatjuk, hogy az XT egyenes átmegy a PQR háromszög PQ oldalhoz hozzáírt körének középpontján; hasonlóan, az YT egyenes is átmegy ugyanezen a ponton. Tehát a T pont a PQR háromszög PQ oldalhoz hozzáírt körének középpontja. Így RT a PRQ szög felezője, ami felezi a PQR=k3 körülírt kör R-rel szemközti PQ ívét.


Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:Ágoston Péter.
2 points:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley