Problem A. 618. (May 2014)
A. 618. Prove that the equation \(\displaystyle x^3 - x + 9 = 5 y^2\) has no solution among the integers.
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. Az egyenletet modulo 3, modulo 4 és modulo 8 vizsgálva láthatjuk, hogy \(\displaystyle 3|y\), \(\displaystyle y\) páratlan és \(\displaystyle 4|x\). Legyen \(\displaystyle X=x/4\) és \(\displaystyle Y=y/3\), és írjuk az egyenletet a következő alakban:
| \(\displaystyle X(4X-1)(4X+1) = 9 \frac{5Y^2-1}{4}. \) | (*) |
Lemma. Tetszőleges \(\displaystyle a,b\) relatív prím pozitív egészekre \(\displaystyle 5a^2-b^2\) minden prímosztója 2, 5 vagy pedig \(\displaystyle 10k\pm1\) alakú.
Bizonyítás. Ha egy \(\displaystyle p\ne2,5\) prímnek van \(\displaystyle 5a^2-b^2\) alakú többszöröse, akkor a Thue-lemma miatt (ld. pl. a A. 595. feladatot) olyan \(\displaystyle a,b\) egészek is találhatók, amikre \(\displaystyle 0<a<\sqrt{p/2}\) és \(\displaystyle 0<b<\sqrt{2p}\). Ekkor \(\displaystyle -3p<5a^2-b^2<3p\), tehát \(\displaystyle 5a^2-b^2=\pm p\) vagy \(\displaystyle 5a^2-b^2=\pm 2p\). Az utóbbi eset nem lehetséges, mert ha \(\displaystyle 5a^2-b^2\) páros, akkor 4-gyel is osztható. Marad az, hogy \(\displaystyle 5a^2-b^2=\pm p\). Mivel \(\displaystyle b^2\equiv\pm1\pmod5\), \(\displaystyle p\equiv\pm1\pmod5\).
(A lemmát a kvadratikus reciprocitás segítségével is könnyű bebizonyítani.)
Térjünk vissza a (*) egyenlethez. Az \(\displaystyle \frac{5Y^2-1}{4}\) szám nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel, ezért a lemma szerint \(\displaystyle 10k\pm1\) alakú prímek szorzata. A baloldalon álló tényezők közül pontosan az egyik osztható 3-mal; ez lesz osztható 9-cel. Összességében mindhárom tényező \(\displaystyle 10k\pm1\) alakú számok szorzata, így az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle 4X-1\), \(\displaystyle 4X+1\) tényezők mindegyikének \(\displaystyle 10\pm1\) alakúnak kellene lennie. Ez viszont nem lehetséges.
Statistics:
4 students sent a solution. 1 point: 1 student. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014