KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 622. Prove that \(\displaystyle \dfrac{7^{7^{k+1}}+1}{7^{7^{k}}+1}\) is a composite number for every nonnegative integer \(\displaystyle k\).

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2014.


Solution. Notice that

\(\displaystyle \dfrac{x^7+1}{x+1} = x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 = (x+1)^6 -7x \cdot (x^2+x+1)^2. \)

If \(\displaystyle x=7^{7^k}\) then \(\displaystyle 7x=7^{7^k+1}\) is a square, so \(\displaystyle \dfrac{7^{7^{k+1}}+1}{7^{7^{k}}+1}\) is the difference between two squares. Hence,

\(\displaystyle \dfrac{7^{7^{k+1}}+1}{7^{7^{k}}+1} = \bigg( \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 + 7^{\frac{7^{k}+1}2}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) \bigg) \bigg( \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 - 7^{\frac{7^{k}+1}2}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) \bigg). \)

The second factor is greater than \(\displaystyle 1\), because

\(\displaystyle \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 - 7^{\frac{7^{k}+1}2}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) \ge \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 - 7^{7^{k}}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) = 2\cdot7^{2\cdot 7^k} +2\cdot7^{7^k} +1 > 1. \)


Statistics on problem A. 622.
8 students sent a solution.
5 points:Adnan Ali, Fehér Zsombor, Saranesh Prembabu, Shapi Topor, Szabó 789 Barnabás.
4 points:Ahaan S. Rungta.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley