KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 665. Legyenek \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) különböző pozitív egész számok. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle 3\sum_{i=1}^{n}a_i^5+\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i\bigg)^{2} \ge 4\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i^3\bigg)\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i\bigg). \)

Javasolta: Mehtaab Sawhney, Commack, USA

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Az állítást \(\displaystyle n\) szerinti indukcióval bizonyítjuk.

Ha \(\displaystyle n=1\), akkor az állítás \(\displaystyle 3a_1^5+a_1^2\ge4a_1^4\), ami ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle a_1^2(a_1-1)(3a_1^2-a_1-1)\ge0\).

Most tegyük fel, hogy az állítás igaz valamely \(\displaystyle n=k\)-ra, és vizsgáljuk az \(\displaystyle n=k+1\) esetet. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle a_{k+1}>a_{k}\ldots>a_1\). Felhasználva az indukciós feltevést, elég azt igazolni, hogy

\(\displaystyle 3a_{k+1}^5+a_{k+1}\Big(a_{k+1}+2\sum_{i=1}^{k}a_i\Big)\ge 4a_{k+1}^4+4a_{k+1}\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i^3\Big)+ 4a_{k+1}^3\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i\Big). \)

Ez ekvivalens azzal, hogy

\(\displaystyle 3a_{k+1}^5+a_{k+1}^2-4a_{k+1}^4\ge4a_{k+1}\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i^3\Big)+\Big(4a_{k+1}^3-2a_{k+1}\Big)\Big(\sum_{i=1}^{k}a_i\Big). \)(1)

Az \(\displaystyle a_1,\ldots,a_k\) különböző értékek az \(\displaystyle [1,a_{k+1}-1]\), intervallumból, így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_i \le \sum_{i=1}^{a_{k+1}-1} i = \frac{a_{k+1}(a_{k+1}-1)}2 \)

és

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k} a_i^3 \le \sum_{i=1}^{a_{k+1}-1} i^3 = \left(\frac{a_{k+1}(a_{k+1}-1)}{2}\right)^2. \)

Ha ezeket a (1) jobboldalára alkalmazzuk, éppen azonosságot kapunk.


Az A. 665. feladat statisztikája
6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Baran Zsuzsanna, Glasznova Maja, Imolay András, Williams Kada.
4 pontot kapott:Bodnár Levente.
2 pontot kapott:1 versenyző.


  • A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley