KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 680. (November 2016)

A. 680. Let \(\displaystyle M(x)\) be a real polynomial having no real root. Prove that for every real polynomial \(\displaystyle P(x)\) there exists a real polynomial \(\displaystyle Q(x)\) such that \(\displaystyle P{(x)}^2+Q{(x)}^2\) is divisible by the polynomial \(\displaystyle M(x)\).

Based on a problem of the Miklós Schweitzer competition

(5 pont)

Deadline expired on 12 December 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az állítást nyilván elég abban az esetben igazolni, ha \(\displaystyle M\) főegyütthatója \(\displaystyle 1\).

Az algebra alaptétele szerint az \(\displaystyle M\) polinom komplex gyöktényezők szorzatára bomlik: ha a polinom gyökei \(\displaystyle r_1,\ldots,r_n\), akkor

\(\displaystyle M(x) = \prod_{k=1}^n (x-r_k). \)

Mivel \(\displaystyle M\) valós együtthatós, és nincs tisztán valós gyöke, a komplex gyökök konjugált párokra oszthatók. Legyen \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) a pozitív, illetve a negatív képzetes részű gyökökhöz tartozó gyöktényezők szorzata:

\(\displaystyle M^+(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k>0}} (x-r_k), \quad M^-(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k<0}} (x-r_k). \)

Az \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) polinomok együtthatói egymás konjugáltjai, nincs közös komplex gyökük, és a szorzatuk \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle M^+\) polinom együtthatóinak valós és képzetes részét véve,

\(\displaystyle M^+ = A + i\cdot B \quad\text{és}\quad M^- = A - i\cdot B, \)

ahol az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomok valós együtthatósak.

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomoknak nem lehet közös komplex gyöke: ha valamilyen \(\displaystyle c\) komplex számra \(\displaystyle A(c)=B(c)=0\) lenne, akkor \(\displaystyle M^+(c)=A(c)+i\cdot B(c)=0\) és \(\displaystyle M^-(c)=A(c)-i\cdot B(c)=0\) egyszerre teljesülne, márpedig az \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) polinomoknak nincs komplex gyöke. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomok tehát relatív prímek.

Az Euklideszi algoritmus előállít olyan \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\), szintén valós együtthatós polinomokat, amelyekre

\(\displaystyle AC-BD = \textrm{lnko}\big(A,B\big) = 1. \)

Ezekre a polinomokra

\(\displaystyle \big(A+iB\big)\big(C+iD\big) = 1 + i\big(AD+BC\big) \quad\text{és}\quad \big(A-iB\big)\big(C-iD\big) = 1 - i\big(AD+BC\big), \)

így

\(\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) = \big(A+iB\big)\big(A-iB\big) \big(C+iD\big)\big(C-iD\big) = \Big(1+i\big(AD+BC\big)\Big)\Big(1-i\big(AD+BC\big)\Big) = 1 + \big(AD+BC\big)^2, \)

\(\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) P^2 = P^2 + \Big(\big(AD+BC\big)P\Big)^2. \)

A \(\displaystyle Q=\big(AD+BC\big)P\) választás esetén tehát a \(\displaystyle P^2+Q^2\) polinom osztható az \(\displaystyle M\) polinommal.


Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Williams Kada.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley