KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 680. Let \(\displaystyle M(x)\) be a real polynomial having no real root. Prove that for every real polynomial \(\displaystyle P(x)\) there exists a real polynomial \(\displaystyle Q(x)\) such that \(\displaystyle P{(x)}^2+Q{(x)}^2\) is divisible by the polynomial \(\displaystyle M(x)\).

Based on a problem of the Miklós Schweitzer competition

(5 points)

Deadline expired on 12 December 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. Az állítást nyilván elég abban az esetben igazolni, ha \(\displaystyle M\) főegyütthatója \(\displaystyle 1\).

Az algebra alaptétele szerint az \(\displaystyle M\) polinom komplex gyöktényezők szorzatára bomlik: ha a polinom gyökei \(\displaystyle r_1,\ldots,r_n\), akkor

\(\displaystyle M(x) = \prod_{k=1}^n (x-r_k). \)

Mivel \(\displaystyle M\) valós együtthatós, és nincs tisztán valós gyöke, a komplex gyökök konjugált párokra oszthatók. Legyen \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) a pozitív, illetve a negatív képzetes részű gyökökhöz tartozó gyöktényezők szorzata:

\(\displaystyle M^+(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k>0}} (x-r_k), \quad M^-(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k<0}} (x-r_k). \)

Az \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) polinomok együtthatói egymás konjugáltjai, nincs közös komplex gyökük, és a szorzatuk \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle M^+\) polinom együtthatóinak valós és képzetes részét véve,

\(\displaystyle M^+ = A + i\cdot B \quad\text{és}\quad M^- = A - i\cdot B, \)

ahol az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomok valós együtthatósak.

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomoknak nem lehet közös komplex gyöke: ha valamilyen \(\displaystyle c\) komplex számra \(\displaystyle A(c)=B(c)=0\) lenne, akkor \(\displaystyle M^+(c)=A(c)+i\cdot B(c)=0\) és \(\displaystyle M^-(c)=A(c)-i\cdot B(c)=0\) egyszerre teljesülne, márpedig az \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) polinomoknak nincs komplex gyöke. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomok tehát relatív prímek.

Az Euklideszi algoritmus előállít olyan \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\), szintén valós együtthatós polinomokat, amelyekre

\(\displaystyle AC-BD = \textrm{lnko}\big(A,B\big) = 1. \)

Ezekre a polinomokra

\(\displaystyle \big(A+iB\big)\big(C+iD\big) = 1 + i\big(AD+BC\big) \quad\text{és}\quad \big(A-iB\big)\big(C-iD\big) = 1 - i\big(AD+BC\big), \)

így

\(\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) = \big(A+iB\big)\big(A-iB\big) \big(C+iD\big)\big(C-iD\big) = \Big(1+i\big(AD+BC\big)\Big)\Big(1-i\big(AD+BC\big)\Big) = 1 + \big(AD+BC\big)^2, \)

\(\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) P^2 = P^2 + \Big(\big(AD+BC\big)P\Big)^2. \)

A \(\displaystyle Q=\big(AD+BC\big)P\) választás esetén tehát a \(\displaystyle P^2+Q^2\) polinom osztható az \(\displaystyle M\) polinommal.


Statistics on problem A. 680.
8 students sent a solution.
5 points:Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Williams Kada.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley