Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 686. (January 2017)

A. 686. In the triangle \(\displaystyle ABC\), the incircle is denoted by \(\displaystyle \omega\). The excircle opposite to \(\displaystyle A\) is tangent to the line \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle A_1\). Let \(\displaystyle X\) be an arbitrarily chosen point on the extension of the segment \(\displaystyle AA_1\) beyond \(\displaystyle A_1\), and let the line \(\displaystyle BC\) meet the tangents drawn from \(\displaystyle X\) to \(\displaystyle \omega\) at \(\displaystyle Y\) and \(\displaystyle Z\), such that \(\displaystyle BY<BZ\). Show that \(\displaystyle XY-XZ\) does not depend on the position of the point \(\displaystyle X\).

(Russian problem)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Jelöljük a \(\displaystyle BC\) oldalhoz hozzáírt kört \(\displaystyle \omega_A\)-val, és legyen a beírt kör érintési pontja a \(\displaystyle BC\) szakaszon \(\displaystyle A_0\). Jelöljük \(\displaystyle \omega'\)-vel az \(\displaystyle XZY\) háromszög beírt körét. Az \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), valamint a \(\displaystyle Z\) és \(\displaystyle Y\) pontok szerepének felcserélésével az eredetivel ekvivalens állítást kapunk, így az általánosság csorbítása nélkül felehetjük, hogy \(\displaystyle BA_0\le BA_1\).

Az \(\displaystyle \omega\) és \(\displaystyle \omega_A\) körök külső közös érintői az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) egyenesek; ezek metszéspontja, \(\displaystyle A\) a két kör külső hasonlósági pontja. Ezért az \(\displaystyle \omega_A\) hozzáírt kört az \(\displaystyle A\) pontból az \(\displaystyle \omega\) beírt körbe kicsinyíthetjük. Legyen a kicsinyítés során az \(\displaystyle A_1\) pont képe a \(\displaystyle T\) pont; az \(\displaystyle \omega_A\) kör \(\displaystyle BC\) érintője az \(\displaystyle \omega\) kör \(\displaystyle T\) pontban húzott érintőjébe megy át; ebből láthatjuk, hogy a beírt körhöz \(\displaystyle T\)-ben húzott érintő párhuzamos \(\displaystyle BC\)-vel, vagyis \(\displaystyle A_0T\) átmérője a beírt körnek.

Hasonlóan, az \(\displaystyle XY\) és \(\displaystyle XZ\) egyenesek az \(\displaystyle \omega\) és \(\displaystyle \omega'\) körök külső közös érintői, ezért az \(\displaystyle \omega\) kört az \(\displaystyle X\) pontból az \(\displaystyle \omega'\) körbe kicsinyíthetjük; az \(\displaystyle \omega\)-hoz \(\displaystyle T\)-ben húzott érintő képe az \(\displaystyle \omega'\) kör \(\displaystyle BC\) érintője, ezen belül is a \(\displaystyle T\) érintési pont képe az \(\displaystyle A_1\) érintési pont.

Az \(\displaystyle XZY\) háromszögben \(\displaystyle \omega'\) a beírt, \(\displaystyle \omega\) a \(\displaystyle ZY\) oldalhoz hozzáírt kör; ha az \(\displaystyle XZY\) háromszög kerülete \(\displaystyle s\), akkor a szokásos módon az \(\displaystyle Y\) csúcsból a körökhöz húzott érintő szakaszok hossza \(\displaystyle YA_1=s-XZ\), illetve \(\displaystyle YA_0=s-XY\). A kettő különbségéből

\(\displaystyle XY-XZ = YA_1-YA_0 = A_0A_1. \)

Az \(\displaystyle A_0\) és \(\displaystyle A_1\) pontok, és velük együtt az \(\displaystyle A_0A_1\) távolság is független az \(\displaystyle X\) pont helyétől.


Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Döbröntei Dávid Bence, Egri Máté, Gáspár Attila, Imolay András, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Németh 123 Balázs, Váli Benedek, Williams Kada.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017