KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 692. (March 2017)

A. 692. Do there exist bijective functions \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) such that the function \(\displaystyle f\big(g(x)\big)\) is strictly increasing, but the function \(\displaystyle g\big(f(x)\big)\) is strictly decreasing?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megadunk olyan \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) bijektív függvényeket, amelyekre \(\displaystyle f\big(g(x)\big)=2x\) és \(\displaystyle g\big(f(x)\big)=-3x\).

Minden \(\displaystyle x\ne0\) racionális szám egyértelműen felírható \(\displaystyle 2^{a}(-3)^by\) alakban úgy, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egész számok, az \(\displaystyle y\) pedig olyan racionális szám, amelynek van olyan \(\displaystyle y=\frac{u}{v}\) közönséges tört alakú felírása, amelyben sem \(\displaystyle u\), sem \(\displaystyle v\) nem osztható sem \(\displaystyle 2\)-vel, sem \(\displaystyle 3\)-mal. A továbbiakban az \(\displaystyle y\) mindig ilyen tulajdonságú, \(\displaystyle 0\)-tól különböző számot fog jelölni.

Az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) függvényeket definiáljuk a következőképpen:

\(\displaystyle f(0) = 0, \quad f\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^a y; \qquad g(0) = 0, \quad g\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^{a+1} y. \)

Ezek valóban bijektívek, az inverzeik

\(\displaystyle f^{-1} = f; \qquad g^{-1}(0) = 0, \quad g^{-1}\big(2^a(-3)^by\big) = 2^{b-1} (-3)^a y \quad \text{(avagy, \(\displaystyle g^{-1}=\tfrac{-g}6\)).} \)

A megígért tulajdonság is teljesül, mert

\(\displaystyle f\big(g(0)\big)=g\big(f(0)\big)=0, \)

továbbá \(\displaystyle x=2^{a}(-3)^by\) esetén

\(\displaystyle f\big(g(x)\big) = f\Big(g\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = f\big(2^b (-3)^{a+1} y\big) = 2^{a+1} (-3)^b y = 2x, \)

és

\(\displaystyle g\big(f(x)\big) = g\Big(f\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = g\big(2^b (-3)^{a} y\big) = 2^a (-3)^{b+1} y = -3x. \)


Statistics:

6 students sent a solution.
5 points:Borbényi Márton, Bukva Balázs, Gáspár Attila, Matolcsi Dávid, Váli Benedek, Williams Kada.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley