Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 692. (March 2017)

A. 692. Do there exist bijective functions \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) such that the function \(\displaystyle f\big(g(x)\big)\) is strictly increasing, but the function \(\displaystyle g\big(f(x)\big)\) is strictly decreasing?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megadunk olyan \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) bijektív függvényeket, amelyekre \(\displaystyle f\big(g(x)\big)=2x\) és \(\displaystyle g\big(f(x)\big)=-3x\).

Minden \(\displaystyle x\ne0\) racionális szám egyértelműen felírható \(\displaystyle 2^{a}(-3)^by\) alakban úgy, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egész számok, az \(\displaystyle y\) pedig olyan racionális szám, amelynek van olyan \(\displaystyle y=\frac{u}{v}\) közönséges tört alakú felírása, amelyben sem \(\displaystyle u\), sem \(\displaystyle v\) nem osztható sem \(\displaystyle 2\)-vel, sem \(\displaystyle 3\)-mal. A továbbiakban az \(\displaystyle y\) mindig ilyen tulajdonságú, \(\displaystyle 0\)-tól különböző számot fog jelölni.

Az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) függvényeket definiáljuk a következőképpen:

\(\displaystyle f(0) = 0, \quad f\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^a y; \qquad g(0) = 0, \quad g\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^{a+1} y. \)

Ezek valóban bijektívek, az inverzeik

\(\displaystyle f^{-1} = f; \qquad g^{-1}(0) = 0, \quad g^{-1}\big(2^a(-3)^by\big) = 2^{b-1} (-3)^a y \quad \text{(avagy, \(\displaystyle g^{-1}=\tfrac{-g}6\)).} \)

A megígért tulajdonság is teljesül, mert

\(\displaystyle f\big(g(0)\big)=g\big(f(0)\big)=0, \)

továbbá \(\displaystyle x=2^{a}(-3)^by\) esetén

\(\displaystyle f\big(g(x)\big) = f\Big(g\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = f\big(2^b (-3)^{a+1} y\big) = 2^{a+1} (-3)^b y = 2x, \)

és

\(\displaystyle g\big(f(x)\big) = g\Big(f\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = g\big(2^b (-3)^{a} y\big) = 2^a (-3)^{b+1} y = -3x. \)


Statistics:

6 students sent a solution.
5 points:Borbényi Márton, Bukva Balázs, Gáspár Attila, Matolcsi Dávid, Váli Benedek, Williams Kada.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017