KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3804. (March 2005)

B. 3804. I have some coins in my pocket. One of them is a 1 penny coin and a few more (there are at least four of them) are 2 penny coins. I start drawing them randomly, one by one without replacement, and stop if the sum is a positive multiple of 3. How many drawings are necessary for that on the average?

(4 pont)

Deadline expired on 15 April 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje k a 20 Ft-osok számát. Az első húzásnál {1\over k+1} valószínűséggel húzzuk ki a 10 Ft-ost, és mivel ekkor másodikra már biztosan 20 Ft-ost húzunk, a második húzás után már 30 Ft-unk lesz, ekkor tehát megállunk.

Feltéve, hogy először 20 Ft-ost húztunk (ennek {k\over k+1} a valószínűsége), {1\over k} valószínűséggel a 10 Ft-ost húzzuk ki másodikra, amikor is megállunk (ennek az eseménynek tehát {k\over k+1}\cdot{1\over k}={1\over k+1} a valószínűsége), {k-1\over k} valószínűséggel pedig újra 20 Ft-os érmét húzunk, amikor is tovább kell folytatnuk a húzást.

Feltéve, hogy az első két alkalommal 20 Ft-ost húztunk (ennek tehát {k-1\over k+1} a valószínűsége), {k-2\over k-1} valószínűséggel húzunk újabb 20 Ft-ost, ami által összesen 60 Ft-unk lesz, és megállhatunk. Ennek az eseménynek tehát {k-1\over k+1}\cdot{k-2\over k-1}={k-2\over k+1} a valószínűsége. A fennmaradó {1\over k+1} valószínűséggel rendelkező esetben, amikor tehát először két 20 Ft-ost, majd egy 10 Ft-ost húztunk, már csak 20 Ft-osok vannak a zsebünkben, tehát még pontosan 2 húzásra lesz szükségünk.

Legfeljebb 5 húzásra van tehát szükségünk, és k\ge4 esetén a fent leírt események mind meg is valósulhatnak. Annak a valószínűsége, hogy két húzásra van szükség, P(2)={2\over k+1}, annak a valószínűsége, hogy három érmét kell húznunk, P(3)={k-2\over k+1}, annak pedig, hogy öt húzással tudjuk elvégezni a feladatot, P(5)={1\over k+1}. Átlagosan tehát

E=2P(2)+3P(3)+5P(5)={4\over k+1}+{3(k-1)\over k+1}+{5\over k+1}=3

húzásra van szükség.


Statistics:

165 students sent a solution.
4 points:111 students.
3 points:8 students.
1 point:41 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley