Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3804. (March 2005)

B. 3804. I have some coins in my pocket. One of them is a 1 penny coin and a few more (there are at least four of them) are 2 penny coins. I start drawing them randomly, one by one without replacement, and stop if the sum is a positive multiple of 3. How many drawings are necessary for that on the average?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje k a 20 Ft-osok számát. Az első húzásnál {1\over k+1} valószínűséggel húzzuk ki a 10 Ft-ost, és mivel ekkor másodikra már biztosan 20 Ft-ost húzunk, a második húzás után már 30 Ft-unk lesz, ekkor tehát megállunk.

Feltéve, hogy először 20 Ft-ost húztunk (ennek {k\over k+1} a valószínűsége), {1\over k} valószínűséggel a 10 Ft-ost húzzuk ki másodikra, amikor is megállunk (ennek az eseménynek tehát {k\over k+1}\cdot{1\over k}={1\over k+1} a valószínűsége), {k-1\over k} valószínűséggel pedig újra 20 Ft-os érmét húzunk, amikor is tovább kell folytatnuk a húzást.

Feltéve, hogy az első két alkalommal 20 Ft-ost húztunk (ennek tehát {k-1\over k+1} a valószínűsége), {k-2\over k-1} valószínűséggel húzunk újabb 20 Ft-ost, ami által összesen 60 Ft-unk lesz, és megállhatunk. Ennek az eseménynek tehát {k-1\over k+1}\cdot{k-2\over k-1}={k-2\over k+1} a valószínűsége. A fennmaradó {1\over k+1} valószínűséggel rendelkező esetben, amikor tehát először két 20 Ft-ost, majd egy 10 Ft-ost húztunk, már csak 20 Ft-osok vannak a zsebünkben, tehát még pontosan 2 húzásra lesz szükségünk.

Legfeljebb 5 húzásra van tehát szükségünk, és k\ge4 esetén a fent leírt események mind meg is valósulhatnak. Annak a valószínűsége, hogy két húzásra van szükség, P(2)={2\over k+1}, annak a valószínűsége, hogy három érmét kell húznunk, P(3)={k-2\over k+1}, annak pedig, hogy öt húzással tudjuk elvégezni a feladatot, P(5)={1\over k+1}. Átlagosan tehát

E=2P(2)+3P(3)+5P(5)={4\over k+1}+{3(k-1)\over k+1}+{5\over k+1}=3

húzásra van szükség.


Statistics:

165 students sent a solution.
4 points:111 students.
3 points:8 students.
1 point:41 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005