Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3805. (March 2005)

B. 3805. The lengths of the sides of a cyclic quadrilateral are a, b, c, d, respectively, its perimeter is 2s and the measure of the angle of the sides a and b is \alpha. Prove that


\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}.

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először alakítsuk át a jobboldali kifejezést:

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}=\frac{(c+d+b-a)(c+d+a-b)}{(a+b+d-c)(a+b+c-d)}
=\frac{(c+d)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-(c-d)^2}.

Legyen e annak az átlónak a hossza, amely az a és d hosszúságú oldalak metszéspontjából indul. Mivel a c és d oldalak által bezárt szög 180o-\alpha, ennek a szögnek a koszinusza -cos \alpha lesz. A koszinusz tétel alapján tehát

a2+b2-2abcos \alpha=e2=c2+d2+2cdcos \alpha.

Ennek alapján

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}=
\frac{[e^2+2cd(1-\cos\alpha)]-[e^2-2ab(1-\cos\alpha)]}
{[e^2+2ab(1+\cos\alpha)]-[e^2-2cd(1+\cos\alpha)]}=

=\frac{2cd(1-\cos\alpha)+2ab(1-\cos\alpha)}
{2ab(1+\cos\alpha)+2cd(1+\cos\alpha)}=
\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=
\frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)}=\tan^2\frac{\alpha}{2}.


Statistics:

87 students sent a solution.
4 points:80 students.
3 points:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005