Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3805. (March 2005)

B. 3805. The lengths of the sides of a cyclic quadrilateral are a, b, c, d, respectively, its perimeter is 2s and the measure of the angle of the sides a and b is \alpha. Prove that


\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}.

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először alakítsuk át a jobboldali kifejezést:

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}=\frac{(c+d+b-a)(c+d+a-b)}{(a+b+d-c)(a+b+c-d)}
=\frac{(c+d)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-(c-d)^2}.

Legyen e annak az átlónak a hossza, amely az a és d hosszúságú oldalak metszéspontjából indul. Mivel a c és d oldalak által bezárt szög 180o-\alpha, ennek a szögnek a koszinusza -cos \alpha lesz. A koszinusz tétel alapján tehát

a2+b2-2abcos \alpha=e2=c2+d2+2cdcos \alpha.

Ennek alapján

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}=
\frac{[e^2+2cd(1-\cos\alpha)]-[e^2-2ab(1-\cos\alpha)]}
{[e^2+2ab(1+\cos\alpha)]-[e^2-2cd(1+\cos\alpha)]}=

=\frac{2cd(1-\cos\alpha)+2ab(1-\cos\alpha)}
{2ab(1+\cos\alpha)+2cd(1+\cos\alpha)}=
\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=
\frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)}=\tan^2\frac{\alpha}{2}.


Statistics:

87 students sent a solution.
4 points:80 students.
3 points:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005