KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3805. The lengths of the sides of a cyclic quadrilateral are a, b, c, d, respectively, its perimeter is 2s and the measure of the angle of the sides a and b is \alpha. Prove that


\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}.

(4 points)

Deadline expired on 15 April 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Először alakítsuk át a jobboldali kifejezést:

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}=\frac{(c+d+b-a)(c+d+a-b)}{(a+b+d-c)(a+b+c-d)}
=\frac{(c+d)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-(c-d)^2}.

Legyen e annak az átlónak a hossza, amely az a és d hosszúságú oldalak metszéspontjából indul. Mivel a c és d oldalak által bezárt szög 180o-\alpha, ennek a szögnek a koszinusza -cos \alpha lesz. A koszinusz tétel alapján tehát

a2+b2-2abcos \alpha=e2=c2+d2+2cdcos \alpha.

Ennek alapján

\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}=
\frac{[e^2+2cd(1-\cos\alpha)]-[e^2-2ab(1-\cos\alpha)]}
{[e^2+2ab(1+\cos\alpha)]-[e^2-2cd(1+\cos\alpha)]}=

=\frac{2cd(1-\cos\alpha)+2ab(1-\cos\alpha)}
{2ab(1+\cos\alpha)+2cd(1+\cos\alpha)}=
\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=
\frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)}=\tan^2\frac{\alpha}{2}.


Statistics on problem B. 3805.
87 students sent a solution.
4 points:80 students.
3 points:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley