Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3806. (March 2005)

B. 3806. Given are two disjoint circular discs in the plane. There are also given two diameters, respectively, which, when extended are touching the other circle. Prove that the endpoints of these diameters form a trapezium.

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a két érintő véletlenül párhuzamos egymással (egybe nyilván nem eshetnek), akkor az állítás nyilvánvaló. Egyebként jelölje metszéspontjukat P. Az első kör középpontját jelölje O1, az első körön lévő érintési pontot E1, az átmérő végpontjait pedig A1 és B1 úgy, hogy A1 van közelebb a P ponthoz. A második körhöz tartozó megfelelő pontokat jelölje rendre O2, E2, A2 és B2. PE1O1 és PE2O2 hasonló derékszögű háromszögek, ezért PO1:PO2=r1:r2, ahol r1 és r2 a megfelelő körök sugarának hossza. Ekkor

{PO_1\over PO_2}={r_1\over r_2}={PO_1-r_1\over PO_2-r_2}={PA_1\over PA_2},

vagyis a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján A_1A_2\ ||\ O_1O_2. Hasonlóképpen

{PO_1\over PO_2}={r_1\over r_2}={PO_1+r_1\over PO_2+r_2}={PB_1\over PB_2},

vagyis B_1B_2\ ||\ O_1O_2. Következésképpen A_1A_2\ ||\ B_1B_2, és minthogy a négy pont nem lehet egy egyenesen, az A1A2B2B1 négyszög valóban trapéz.


Statistics:

110 students sent a solution.
4 points:58 students.
3 points:33 students.
2 points:8 students.
1 point:3 students.
0 point:8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005