A B. 3806. feladat (2005. március)

B. 3806. Adott a síkon két egymáson kívül elhelyezkedő kör, és mindegyiküknek egy-egy átmérője, amelyeknek az egyenese érinti a másik kört. Bizonyítsuk be, hogy a két átmérő végpontjai egy trapézt határoznak meg.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a két érintő véletlenül párhuzamos egymással (egybe nyilván nem eshetnek), akkor az állítás nyilvánvaló. Egyebként jelölje metszéspontjukat P. Az első kör középpontját jelölje O₁, az első körön lévő érintési pontot E₁, az átmérő végpontjait pedig A₁ és B₁ úgy, hogy A₁ van közelebb a P ponthoz. A második körhöz tartozó megfelelő pontokat jelölje rendre O₂, E₂, A₂ és B₂. PE₁O₁ és PE₂O₂ hasonló derékszögű háromszögek, ezért PO₁:PO₂=r₁:r₂, ahol r₁ és r₂ a megfelelő körök sugarának hossza. Ekkor

vagyis a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján . Hasonlóképpen

vagyis . Következésképpen , és minthogy a négy pont nem lehet egy egyenesen, az A₁A₂B₂B₁ négyszög valóban trapéz.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	58 versenyző.
3 pontot kapott:	33 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai