Problem B. 3808. (March 2005)
B. 3808. The real numbers x and y are both in the interval [0;12] and satisfy xy=(12-x)2(12-y)2. Find the maximum value of the product xy.
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha x=y=9, akkor a feltétel teljesül, a szorzat értéke pedig 81. Megmutatjuk, hogy minden más esetben a szorzat értéke ennél kisebb. Legyen (12-x)(12-y)=A. Tudjuk, hogy x, y, 12-x, 12-y és A is nemnegatív számok, továbbá A2=xy. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség értelmében
és egyenlőség csak x=9 esetén áll fenn. Hasonló eredményre jutunk akkor is, ha x helyébe y-t írunk. Ezek alapján
vagyis A7314, A9, xy=A281, egyenlőség pedig csak az x=y=9 esetben állhat fenn.
Statistics:
78 students sent a solution. 5 points: 51 students. 4 points: 5 students. 3 points: 4 students. 2 points: 4 students. 1 point: 5 students. 0 point: 9 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005