KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3808. The real numbers x and y are both in the interval [0;12] and satisfy xy=(12-x)2(12-y)2. Find the maximum value of the product xy.

(5 points)

Deadline expired on 15 April 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha x=y=9, akkor a feltétel teljesül, a szorzat értéke pedig 81. Megmutatjuk, hogy minden más esetben a szorzat értéke ennél kisebb. Legyen (12-x)(12-y)=A. Tudjuk, hogy x, y, 12-x, 12-y és A is nemnegatív számok, továbbá A2=xy. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség értelmében

{1\over 3}x\cdot{1\over 3}x\cdot{1\over 3}x\cdot(12-x)\le 
\Bigl({12\over 4}\Bigr)^4=3^4,

és egyenlőség csak x=9 esetén áll fenn. Hasonló eredményre jutunk akkor is, ha x helyébe y-t írunk. Ezek alapján

{A^7\over 3^6}={(xy)^3\over 3^6}(12-x)(12-y)
=\Bigl({x\over 3}\Bigr)^3(x-12)\Bigl({y\over 3}\Bigr)^3(y-12)
\le 3^4\cdot 3^4=3^8,

vagyis A7\le314, A\le9, xy=A2\le81, egyenlőség pedig csak az x=y=9 esetben állhat fenn.


Statistics on problem B. 3808.
78 students sent a solution.
5 points:51 students.
4 points:5 students.
3 points:4 students.
2 points:4 students.
1 point:5 students.
0 point:9 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley