KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3808. (March 2005)

B. 3808. The real numbers x and y are both in the interval [0;12] and satisfy xy=(12-x)2(12-y)2. Find the maximum value of the product xy.

(5 pont)

Deadline expired on 15 April 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha x=y=9, akkor a feltétel teljesül, a szorzat értéke pedig 81. Megmutatjuk, hogy minden más esetben a szorzat értéke ennél kisebb. Legyen (12-x)(12-y)=A. Tudjuk, hogy x, y, 12-x, 12-y és A is nemnegatív számok, továbbá A2=xy. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség értelmében

{1\over 3}x\cdot{1\over 3}x\cdot{1\over 3}x\cdot(12-x)\le 
\Bigl({12\over 4}\Bigr)^4=3^4,

és egyenlőség csak x=9 esetén áll fenn. Hasonló eredményre jutunk akkor is, ha x helyébe y-t írunk. Ezek alapján

{A^7\over 3^6}={(xy)^3\over 3^6}(12-x)(12-y)
=\Bigl({x\over 3}\Bigr)^3(x-12)\Bigl({y\over 3}\Bigr)^3(y-12)
\le 3^4\cdot 3^4=3^8,

vagyis A7\le314, A\le9, xy=A2\le81, egyenlőség pedig csak az x=y=9 esetben állhat fenn.


Statistics:

78 students sent a solution.
5 points:51 students.
4 points:5 students.
3 points:4 students.
2 points:4 students.
1 point:5 students.
0 point:9 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley