Problem B. 3810. (March 2005)
B. 3810. Denote the greatest odd divisor of the positive integer n by k(n). Let
A(n)=k(1)+k(2)+...+k(n), B(n)=1+2+...+n.
Prove that there are infinitely many values of n such that 3 A(n) = 2B(n).
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel A(2)=2, B(2)=3, A(6)=14, B(6)=21, A(14)=70 és B(14)=105, megsejthetjük, hogy 3A(n)=2B(n) teljesül, ha n=2a-2, ahol a2. Ezt a sejtést a szerinti teljes indukcióval legegyszerűbben úgy igazolhatjuk, ha a
összefüggést igazoljuk a szerinti teljes indukcióval a2 esetén. Ez teljesül, ha a=2, az indukciós lépéshez tegyük fel tehát, hogy a3, és az állítást a-1 esetén már beláttuk. Azt kell igazolnunk, hogy
A jobboldalon szerplő összeg értéke
vagyis azt kell megmutatnunk, hogy a baloldalon szereplő összeg értéke (2a-1)2a-val egyenlő. Felhasználva, hogy k(2i)=k(i) és k(2i+1)=2i+1, az összeg
alakban is felírható, amit az indukciós feltevés alapján tovább alakítva kapjuk, hogy
=2a-1(3.2a-1-2)+(2a-1-1)2a-1+2a-1=2a-1(4.2a-1-2)=2a(2a-1),
amint azt bizonyítani kívántuk.
Statistics:
67 students sent a solution. 5 points: 55 students. 4 points: 5 students. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005