Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3811. (March 2005)

B. 3811. Find the radius of the sphere inscribed into a four sided pyramid whose edges are 1 unit long each.

(3 pont)

Deadline expired on April 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja ABCD, csúcsa pedig P. Az ABCD négyszög rombusz, ennek középpontját jelölje O. A P pont két O középpontú kör metszéspontjában helyezkedik el, melyek sugara a Pithagorasz tétel szerint \sqrt{1-(AC/2)^2} illetve \sqrt{1-(BD/2)^2}. A gúla tehát csak úgy jöhet létre, ha AC=BD, vagyis az alaplap négyzet. Ekkor tehát AC=BD=\sqrt{2}.

A gúla h magassága tehát \sqrt{1/2}, térfogata pedig V=h/3, hiszen az alaplap területe 1. Az egyes oldallapok területe külön-külön \sqrt{3}/4, vagyis a gúla felszíne A=1+\sqrt{3}. Ha a beírt gömb sugarát r jelöli, akkor a gúlát öt, egyenként r magasságú gúlára (ebből négy tetraéder lesz) felbontva látható, hogy V=Ar/3, ahonnan

r={h\over A}={1\over \sqrt{2}(1+\sqrt{3})}={1\over \sqrt{2}+\sqrt{6}}.


Statistics:

142 students sent a solution.
3 points:Beringer Dorottya, Berinkei Péter, Blázsik Zoltán, Bock Lilla, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dezső András, Erdélyi Viktor, Fegyverneki Tamás, Filus Adrienn, Grósz Dániel, Gyenizse Gergő, Győrffy Lajos, Halász Veronika, Kálosi Anna, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Müller Márk, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Novák 125 Zsófia, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Rábai András, Szakál Péter, Szalkai Balázs, Tóth 666 László Márton, Tóthmérész Lilla, Ungi Gergely, Zotter Zsuzsanna.
2 points:78 students.
1 point:9 students.
0 point:19 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005