KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3811. Find the radius of the sphere inscribed into a four sided pyramid whose edges are 1 unit long each.

(3 points)

Deadline expired on 15 April 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja ABCD, csúcsa pedig P. Az ABCD négyszög rombusz, ennek középpontját jelölje O. A P pont két O középpontú kör metszéspontjában helyezkedik el, melyek sugara a Pithagorasz tétel szerint \sqrt{1-(AC/2)^2} illetve \sqrt{1-(BD/2)^2}. A gúla tehát csak úgy jöhet létre, ha AC=BD, vagyis az alaplap négyzet. Ekkor tehát AC=BD=\sqrt{2}.

A gúla h magassága tehát \sqrt{1/2}, térfogata pedig V=h/3, hiszen az alaplap területe 1. Az egyes oldallapok területe külön-külön \sqrt{3}/4, vagyis a gúla felszíne A=1+\sqrt{3}. Ha a beírt gömb sugarát r jelöli, akkor a gúlát öt, egyenként r magasságú gúlára (ebből négy tetraéder lesz) felbontva látható, hogy V=Ar/3, ahonnan

r={h\over A}={1\over \sqrt{2}(1+\sqrt{3})}={1\over \sqrt{2}+\sqrt{6}}.


Statistics on problem B. 3811.
142 students sent a solution.
3 points:Beringer Dorottya, Berinkei Péter, Blázsik Zoltán, Bock Lilla, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dezső András, Erdélyi Viktor, Fegyverneki Tamás, Filus Adrienn, Grósz Dániel, Gyenizse Gergő, Győrffy Lajos, Halász Veronika, Kálosi Anna, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Müller Márk, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Novák 125 Zsófia, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Rábai András, Szakál Péter, Szalkai Balázs, Tóth 666 László Márton, Tóthmérész Lilla, Ungi Gergely, Zotter Zsuzsanna.
2 points:78 students.
1 point:9 students.
0 point:19 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley