A B. 3811. feladat (2005. március)

B. 3811. Egy négyszög alapú gúla minden éle 1 egység hosszú. Mekkora a gúlába írható gömb sugara?

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja ABCD, csúcsa pedig P. Az ABCD négyszög rombusz, ennek középpontját jelölje O. A P pont két O középpontú kör metszéspontjában helyezkedik el, melyek sugara a Pithagorasz tétel szerint $\sqrt{1-(AC/2)^2}$ illetve $\sqrt{1-(BD/2)^2}$ . A gúla tehát csak úgy jöhet létre, ha AC=BD, vagyis az alaplap négyzet. Ekkor tehát $AC=BD=\sqrt{2}$ .

A gúla h magassága tehát $\sqrt{1/2}$ , térfogata pedig V=h/3, hiszen az alaplap területe 1. Az egyes oldallapok területe külön-külön $\sqrt{3}/4$ , vagyis a gúla felszíne $A=1+\sqrt{3}$ . Ha a beírt gömb sugarát r jelöli, akkor a gúlát öt, egyenként r magasságú gúlára (ebből négy tetraéder lesz) felbontva látható, hogy V=Ar/3, ahonnan

$r={h\over A}={1\over \sqrt{2}(1+\sqrt{3})}={1\over \sqrt{2}+\sqrt{6}}.$

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Beringer Dorottya, Berinkei Péter, Blázsik Zoltán, Bock Lilla, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dezső András, Erdélyi Viktor, Fegyverneki Tamás, Filus Adrienn, Grósz Dániel, Gyenizse Gergő, Győrffy Lajos, Halász Veronika, Kálosi Anna, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Müller Márk, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Novák 125 Zsófia, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Rábai András, Szakál Péter, Szalkai Balázs, Tóth 666 László Márton, Tóthmérész Lilla, Ungi Gergely, Zotter Zsuzsanna.

2 pontot kapott: 78 versenyző.

1 pontot kapott: 9 versenyző.

0 pontot kapott: 19 versenyző.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai

142 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Beringer Dorottya, Berinkei Péter, Blázsik Zoltán, Bock Lilla, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dezső András, Erdélyi Viktor, Fegyverneki Tamás, Filus Adrienn, Grósz Dániel, Gyenizse Gergő, Győrffy Lajos, Halász Veronika, Kálosi Anna, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Müller Márk, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Novák 125 Zsófia, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Rábai András, Szakál Péter, Szalkai Balázs, Tóth 666 László Márton, Tóthmérész Lilla, Ungi Gergely, Zotter Zsuzsanna.
2 pontot kapott:	78 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?