Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3813. (April 2005)

B. 3813. Prove that there is exactly one single point M inside an arbitrary triangle ABC, such that

MA+BC=MB+AC =MC+AB.

(4 pont)

Deadline expired on May 17, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük azon M pontok mértani helyét a síkon, amelyekre fennáll az MA+BC=MB+AC, vagyis az MA-MB=CA-CB egyenlőség. Ezek egy olyan hC hiperbolaágon helyezkednek el, melynek két fókuszpontja A és B, és áthalad a C csúcson. Ha a hC görbének az AB szakasszal alkotott metszéspontját C' jelöli, akkor hC-nek a C pontot C'-vel összekötő íve a háromszög belsejében halad, ellenkező esetben metszenie kellene vagy a CA vagy a CB oldalt. Ha azonban a CB oldal egy M belső pontjára az MA+BC=MB+AC feltétel teljesül, akkor MA+CM=CA, ami ellentmond a háromszög-egyenlőtlenségnek, és ugyanígy M nem lehet a CA oldal belső pontja sem.

Hasonlóképpen, az MB+AC=MC+AB feltételnek eleget tevő pontok egy hA hiperbolaág pontjai, melynek az A csúcsot a BC oldal megfelelő A' pontjával összekötő íve a háromszög belsejében halad. Mivel hA és hC folytonos vonalak, kell hogy messék egymást a háromszög belsejében, és egy ilyen metszéspont mefelelő lesz.

Legyen M a háromszög belsejének egy megfelelő pontja, M' pedig egy másik pont, amely rendelkezik a megkövetelt tulajdonsággal. Ekkor M'A-MA=M'B-MB=M'C-MC, vagyis az A,B,C pontok egy olyan hiperbolaágon helyezkednek el, amelynek két fókuszpontja M és M'. (Azt az elfajuló esetet, amikor a mértani hely az MM' szakasz felező merőlegese, kizárhatjuk, hiszen A,B,C nem eshetnek egy egyenesre.) Vagyis A,B,C az MM' szakasz felező merőlegesének ugyanarra az oldalára esnek, ami miatt M és M' közül csak az egyik pont eshet az ABC háromszög belsejébe, tehát M' a háromszögön kívül helyezkedik el.


Statistics:

47 students sent a solution.
4 points:Dudás László, Estélyi István, Gehér György, Károlyi Márton, Kiss-Tóth Christian, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Sommer Dániel, Strenner Balázs.
3 points:Bitai Tamás, Blázsik Zoltán, Eisenberger András, Halász Veronika, Németh 007 Zsolt, Sümegi Károly, Szilvási Tibor, Tóth 666 László Márton, Tóthmérész Lilla.
2 points:22 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005