KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 3814. n and k are positive integers, such that 2kn|k2+n2-k. Prove that k is a square number.

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen k és n legnagyobb közös osztója (k,n)=d. Ekkor 2kn osztható d2-tel. Mivel k2 és n2 is osztható d2-tel, a feltétel csak úgy teljesülhet, ha k is osztható d2-tel. Alkalmas a,b pozitív egészek segítségével tehát k=d2a és n=db, ahol k/d és n/d már relatív prímek, vagyis (da,b)=1. Ebből adódóan a és b is relatív prímek, következésképpen (a,b2)=1 is teljesül. A feltétel szerint 2d^3ab\ |\ d^4a^2+d^2b^2-d^2a, vagyis a\ |\ 2dab\ |\  d^2a^2+b^2-a. Ezért a\ |\ b^2, ami (a,b2)=1 miatt csak úgy lehetséges, ha a=1. Ennélfogva k=d2a=d2 valóban négyzetszám.


Statistics on problem B. 3814.
63 students sent a solution.
4 points:Bitai Tamás, Blázsik Zoltán, Csorba János, Dányi Zsolt, Dobos Gábor, Eckert Bernadett, Estélyi István, Farkas Ádám László, Gehér György, Gombkötő Tamás, Gyenizse Gergő, Győrffy Lajos, Halász Veronika, Hartmann Zoltán, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss 111 Viktor, Kiss-Tóth Christian, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Kónya 495 Gábor, Korándi Dániel, Kornis Bence, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Lamm Éva, Maros Máté Előd, Mészáros Gábor, Müller Márk, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Pap Máté, Strenner Balázs, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Tomon István, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Ureczky Bálint, Üveges Lilla.
3 points:Cserép Gergely, Tossenberger Anna, Ungi Gergely.
2 points:4 students.
1 point:9 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program