Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3816. (April 2005)

B. 3816. The centre of the inscribed circle of the triangle ABC is O. The extensions of the line segments AO, BO, CO beyond O intersect the circumscribed circle at A1, B1, C1, respectively. Prove that the area of the triangle A1B1C1 is

\frac{R^2}{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma),

where R is the radius of the circumscribed circle, and \alpha, \beta, \gamma are the angles of the original triangle ABC.

(4 pont)

Deadline expired on May 17, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen x=\alpha/2, y=\beta/2 és z=\gamma/2, ekkor x+y+z=90o. Az A1C ívhez tartozó kerületi szög x, a B1C ívhez tartozó pedig y, ezért az A1B1 szakasz hossza a szinusz-tétel szerint c1=2Rsin (x+y)=2Rcos z. Hasonlóképpen kapjuk, hogy a B1C1, illetve C1A1 szakaszok hossza a1=2Rcos x és b1=2Rcos y. Az A1B1C1 háromszög területe tehát

{a_1b_1c_1\over 4R}=2R^2\cos x\cos y\cos z.

Ennek megfelelően a

sin 2x+sin 2y+sin 2z=4cos xcos ycos z

összefüggést kell igazolnunk.

A baloldali kifejezés így írható át:

sin 2x+sin 2y+sin (2x+2y)=sin 2x+sin 2y+sin 2xcos 2y+cos 2xsin 2y.

Ha a jobboldali kifejezést is átalakítjuk:

4cos xcos ysin (x+y)=2cos2y(2sin xcos x)+2cos2x(2sin ycos y)=

=(cos 2y+1)sin 2x+(cos 2x+1)sin 2y,

akkor a bizonyítandó egyenlőség már könnyűszerrel leolvasható.


Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:Árvay Anna, Árvay Zsófia, Bitai Tamás, Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csorba János, Dobos Gábor, Eckert Bernadett, Estélyi István, Fischer Richárd, Győrffy Lajos, Horváth 017 Zoltán, Hujter Bálint, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss 243 Réka, Kiss-Tóth Christian, Klimaj Zoltán, Knipl Diána, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Kunsági-Máté Éva, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Maros Máté Előd, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pálovics Róbert, Pásztor 001 Attila, Petrás András, Poronyi Balázs, Pusztai Tamás, Rábai András, Strenner Balázs, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Szentandrási István, Tossenberger Anna, Ureczky Bálint, Varga 111 Péter.
3 points:42 students.
2 points:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005