KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3817. (April 2005)

B. 3817. The sequence an is defined as follows:

a1\ne2, a_2=\frac{a_1}{a_1-2}, a_{n+1}=\frac{na_n^2}{na_n^2-(n+1)a_n+(n+1)}, if n\ge2.

Prove that the inequality

a1+2a2+3a3+...+nan=a1.a2.a3.....an

is true for all n.

(5 pont)

Deadline expired on 17 May 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel az nx2-(n+1)x+(n+1) polinom diszkriminánsa, D=(n+1)2-4n(n+1)=(n+1)(1-3n)<0, n\ge2 esetén an+1 nevezőjében mindig pozitív szám áll, vagyis a sorozat minden tagja értelmezhető. Az is világos, hogy a2\ne1, ahonnan teljes indukcióval adódik, hogy an\ne1, ha n\ge2. A feladatban szereplő állítás bizonyítására térve világos hogy n=1 esetén az teljesül, ha pedig n=2, akkor könnyen ellenőrizhető:

a_1+2a_2=a_1+2{a_1\over a_1-2}={(a_1^2-2a_1)+2a_1\over a_1-2}=
{a_1^2\over a_1-2}=a_1a_2.

A teljes indukciós bizonyításhoz tehát annyit kell csak igazolni, hogy n\ge2 esetén

(n+1)a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n(a_{n+1}-1).

Ezt általánosabban, n\ge1 esetén igazoljuk teljes indukcióval. Ha n=1, akkor

a_1(a_2-1)=a_1{2\over a_1-2}=2{a_1\over a_1-2}=2a_2.

Ha pedig n\ge2, és az na_n=a_1a_2\ldots a_{n-1}(a_n-1) összefüggést már igazoltuk, akkor

{(n+1)a_{n+1}\over a_{n+1}-1}={(n+1)na_n^2\over na_n^2-(n+1)a_n+(n+1)}:
{(n+1)a_n-(n+1)\over na_n^2-(n+1)a_n+(n+1)}=

= {(n+1)na_n^2\over(n+1)a_n-(n+1)}={na_n\over a_n-1}a_n=
(a_1a_2\ldots a_{n-1})a_n.


Statistics:

53 students sent a solution.
5 points:Dobos Gábor, Dudás László, Eisenberger András, Estélyi István, Fegyveres György, Gehér György, Gombkötő Tamás, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss-Tóth Christian, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kutas Péter, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Németh 007 Zsolt, Páldy Sándor, Sóvágó Sándor, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Tossenberger Anna, Ureczky Bálint.
4 points:Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Csorba János, Dányi Zsolt, Fegyverneki Dániel, Horváth 017 Zoltán, Kardos Kinga Gabriela, Kovács 111 Péter, Pálovics Róbert, Poronyi Balázs, Strenner Balázs, Szirmai Péter, Tomon István, Tóth 666 László Márton, Udvari Balázs.
3 points:3 students.
1 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley