KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3818. The length of all three edges from a certain vertex of a tetrahedron is unity, and they pairwise enclose 45 angles. Find the volume of the tetrahedron. (based on the idea of

(4 points)

Deadline expired on 17 May 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen az adott csúcs O. A tertraéder O-val szemközti lapja egy ABC szabályos háromszög, melynek a élhosszát meghatározhatjuk, ha az OAB háromszögre felírjuk a koszinusz-tételt:

a^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos45^\circ=2-\sqrt{2}.

Az ABC háromszög magassága m=\sqrt{3}a/2, vagyis a háromszög területe T=am/2=\sqrt{3}a^2/4. Ha a háromszög középpontját S jelöli, akkor AS=2m/3, vagyis AS2=a2/3. Az OSA derékszögű háromszögre a Pithagorasz-tételt felírva számíthatjuk ki a tetraéder h magasságát:

h^2=OS^2=OA^2-AS^2=1-{2-\sqrt{2}\over 3}={1+\sqrt{2}\over 3}.

A tetraéder térfogata tehát

V={1\over 3}Th={1\over 3}\cdot{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})\over 4}\cdot
{\sqrt{1+\sqrt{2}}\over \sqrt{3}}=
{(2-\sqrt{2})\sqrt{1+\sqrt{2}}\over 12}.


Statistics on problem B. 3818.
138 students sent a solution.
4 points:95 students.
3 points:30 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley