Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3818. (April 2005)

B. 3818. The length of all three edges from a certain vertex of a tetrahedron is unity, and they pairwise enclose 45 angles. Find the volume of the tetrahedron. (based on the idea of

(4 pont)

Deadline expired on May 17, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az adott csúcs O. A tertraéder O-val szemközti lapja egy ABC szabályos háromszög, melynek a élhosszát meghatározhatjuk, ha az OAB háromszögre felírjuk a koszinusz-tételt:

a^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos45^\circ=2-\sqrt{2}.

Az ABC háromszög magassága m=\sqrt{3}a/2, vagyis a háromszög területe T=am/2=\sqrt{3}a^2/4. Ha a háromszög középpontját S jelöli, akkor AS=2m/3, vagyis AS2=a2/3. Az OSA derékszögű háromszögre a Pithagorasz-tételt felírva számíthatjuk ki a tetraéder h magasságát:

h^2=OS^2=OA^2-AS^2=1-{2-\sqrt{2}\over 3}={1+\sqrt{2}\over 3}.

A tetraéder térfogata tehát

V={1\over 3}Th={1\over 3}\cdot{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})\over 4}\cdot
{\sqrt{1+\sqrt{2}}\over \sqrt{3}}=
{(2-\sqrt{2})\sqrt{1+\sqrt{2}}\over 12}.


Statistics:

138 students sent a solution.
4 points:95 students.
3 points:30 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005