KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3818. (April 2005)

B. 3818. The length of all three edges from a certain vertex of a tetrahedron is unity, and they pairwise enclose 45 angles. Find the volume of the tetrahedron. (based on the idea of

(4 pont)

Deadline expired on 17 May 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az adott csúcs O. A tertraéder O-val szemközti lapja egy ABC szabályos háromszög, melynek a élhosszát meghatározhatjuk, ha az OAB háromszögre felírjuk a koszinusz-tételt:

a^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos45^\circ=2-\sqrt{2}.

Az ABC háromszög magassága m=\sqrt{3}a/2, vagyis a háromszög területe T=am/2=\sqrt{3}a^2/4. Ha a háromszög középpontját S jelöli, akkor AS=2m/3, vagyis AS2=a2/3. Az OSA derékszögű háromszögre a Pithagorasz-tételt felírva számíthatjuk ki a tetraéder h magasságát:

h^2=OS^2=OA^2-AS^2=1-{2-\sqrt{2}\over 3}={1+\sqrt{2}\over 3}.

A tetraéder térfogata tehát

V={1\over 3}Th={1\over 3}\cdot{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})\over 4}\cdot
{\sqrt{1+\sqrt{2}}\over \sqrt{3}}=
{(2-\sqrt{2})\sqrt{1+\sqrt{2}}\over 12}.


Statistics:

138 students sent a solution.
4 points:95 students.
3 points:30 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley