KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 3819. Show that if A1B1, A2B2 and A3B3 are three parallel chords of a circle, then the perpendiculars dropped from the point A1, A2 and A3 onto the line B2B3, B3B1 and B1B2, respectively, are concurrent.

(5 points)

Deadline expired on 17 May 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Vegyünk fel úgy egy derékszögű koordinátarendszert, hogy az x tengely párhuzamos legyen a húrokkal, az origó pedig essen egybe a kör középpontjával. Ha a Bi pont koordinátái (xi,yi) akkor az Ai ponté (-xi,yi). Jegyezzük meg, hogy y1, y2 és y3 között nincsen két egyenlő. Tetszőleges B2B3-ra merőleges egyenes meredéksége (x2-x3)/(y3-y2) lesz. Ha egy ilyen egyenes áthalad az A1(-x1,y1) ponton, akkor egyenlete

y-{x_2-x_3\over y_3-y_2}x=y_1-{x_2-x_3\over y_3-y_2}(-x_1)

lesz, amit a kényelmesebb

(x3-x2)x+(y3-y2)y=(x2-x3)x1+(y3-y2)y1

alakba írhatunk. Szimmetria okokból a másik két egyenes egyenlete

(x1-x3)x+(y1-y3)y=(x3-x1)x2+(y1-y3)y2,

illetve

(x2-x1)x+(y2-y1)y=(x1-x2)x3+(y2-y1)y3.

Ha az első két egyenletet összeadjuk, akkor a harmadik egyenlettel ekvivelens egyenlethez jutunk. Ez azt jelenti, hogy ha (x,y) megoldása az első két egyenletnek, akkor a harmadiknak is megoldása lesz. Minthogy pedig az első két egyenes nem párhuzamos egymással, van pontosan egy (x,y) közös pontjuk, ami ezek szerint a harmadik egyenesre is illeszkedik.

Jegyezzük meg, hogy a megoldás során csak annyit használtunk ki, hogy az A1A2A3 és B1B2B3 háromszögek egy egyenesre szimmetrikusan helyezkednek el.


Statistics on problem B. 3819.
40 students sent a solution.
5 points:Cseh Ágnes, Estélyi István, Fegyverneki Dániel, Fischer Richárd, Halász Veronika, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss-Tóth Christian, Kunovszki Péter, Lorántfy Bettina, Mészáros Gábor, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Pálovics Róbert, Poronyi Balázs, Sommer Dániel, Strenner Balázs, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Szirmai Péter, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Ureczky Bálint.
4 points:Blázsik Zoltán, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kovács 129 Péter, Lukucz Balázs, Mátyás Péter, Páldy Sándor, Pesti Veronika, Petényi Franciska, Sümegi Károly, Szudi László.
3 points:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program