KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3820. (April 2005)

B. 3820. Solve the following equation:

(5x-2x-2)2+ 2lg (5x+2x-2)=x.

(4 pont)

Deadline expired on 17 May 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség értelmében

5^x+2^{x-2}\ge 2\sqrt{5^x\cdot2^{x-2}}=10\sqrt{10^{x-2}}=10^{x/2}.

A logaritmus-függvény monotonitása miatt tehát

2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge 2(x/2)=x,

és egyenlőség pontosan az 5x=2x-2 esetben áll fenn. Továbbá \left(5^x-2^{x-2}\right)^2\ge 0, és itt ugyanakkor áll fenn az egyenlőség. A két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy

\left(5^x-2^{x-2}\right)^2+2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge x,

és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha 5x=2x-2, vagyis az xlog25=x-2 esetben. Az egyenlet megoldása tehát

x=-{2\over \log_2 5-1}.


Statistics:

>
61 students sent a solution.
4 points:53 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley