KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 3820. Solve the following equation:

(5x-2x-2)2+ 2lg (5x+2x-2)=x.

(4 points)

Deadline expired on 17 May 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség értelmében

5^x+2^{x-2}\ge 2\sqrt{5^x\cdot2^{x-2}}=10\sqrt{10^{x-2}}=10^{x/2}.

A logaritmus-függvény monotonitása miatt tehát

2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge 2(x/2)=x,

és egyenlőség pontosan az 5x=2x-2 esetben áll fenn. Továbbá \left(5^x-2^{x-2}\right)^2\ge 0, és itt ugyanakkor áll fenn az egyenlőség. A két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy

\left(5^x-2^{x-2}\right)^2+2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge x,

és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha 5x=2x-2, vagyis az xlog25=x-2 esetben. Az egyenlet megoldása tehát

x=-{2\over \log_2 5-1}.


Statistics on problem B. 3820.
61 students sent a solution.
4 points:53 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program