Problem B. 3820.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 3820. Solve the following equation:

(5^x-2^x-2)²+ 2lg (5^x+2^x-2)=x.

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség értelmében

$5^x+2^{x-2}\ge 2\sqrt{5^x\cdot2^{x-2}}=10\sqrt{10^{x-2}}=10^{x/2}.$

A logaritmus-függvény monotonitása miatt tehát

$2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge 2(x/2)=x,$

és egyenlőség pontosan az 5^x=2^x-2 esetben áll fenn. Továbbá $\left(5^x-2^{x-2}\right)^2\ge 0$ , és itt ugyanakkor áll fenn az egyenlőség. A két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy

$\left(5^x-2^{x-2}\right)^2+2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge x,$

és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha 5^x=2^x-2, vagyis az xlog₂5=x-2 esetben. Az egyenlet megoldása tehát

$x=-{2\over \log_2 5-1}.$

Statistics on problem B. 3820.

61 students sent a solution.

4 points: 53 students.

3 points: 1 student.

2 points: 2 students.

1 point: 3 students.

0 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

Our web pages are supported by:

ELTE