Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3820. feladat (2005. április)

B. 3820. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(5x-2x-2)2+ 2lg  (5x+2x-2)=x.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.


Megoldás. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség értelmében

5^x+2^{x-2}\ge 2\sqrt{5^x\cdot2^{x-2}}=10\sqrt{10^{x-2}}=10^{x/2}.

A logaritmus-függvény monotonitása miatt tehát

2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge 2(x/2)=x,

és egyenlőség pontosan az 5x=2x-2 esetben áll fenn. Továbbá \left(5^x-2^{x-2}\right)^2\ge 0, és itt ugyanakkor áll fenn az egyenlőség. A két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk, hogy

\left(5^x-2^{x-2}\right)^2+2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right)\ge x,

és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha 5x=2x-2, vagyis az xlog25=x-2 esetben. Az egyenlet megoldása tehát

x=-{2\over \log_2 5-1}.


Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:53 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai