KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 3821. a, b, c are positive numbers, such that a2+b2+c2=1. Find the smallest possible value of the sum

S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Állítjuk, hogy S2\ge3(a2+b2+c2), vagyis hogy

\Bigl({a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\over abc}\Bigr)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2).

Ezzel ekvivalens, hogy

(a2b2+b2c2+c2a2)2\ge3a2b2c2(a2+b2+c2),

ami átrendezés után az

a4b4+b4c4+c4a4\gea4b2c2+b4c2a2+c4a2b2

alakot ölti. További átrendezés során látható, hogy az

{a^4(b^2-c^2)^2+b^4(c^2-a^2)^2+c^4(a^2-b^2)^2\over 2}\ge 0

egyenlőtlenséget kell igazolnunk, ami nyilvánvaló.

Vagyis S2\ge3, ahol egyenlőség csakis az a2=b2=c2 esetben állhat fönn. Az S összeg legkisebb lehetséges értéke tehát \sqrt{3}, mely értéket a=b=c=1/\sqrt{3} esetén veszi fel.


Statistics on problem B. 3821.
79 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:1 student.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:22 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program