KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3821. a, b, c are positive numbers, such that a2+b2+c2=1. Find the smallest possible value of the sum

S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}.

(5 points)

Deadline expired on 17 May 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Állítjuk, hogy S2\ge3(a2+b2+c2), vagyis hogy

\Bigl({a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\over abc}\Bigr)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2).

Ezzel ekvivalens, hogy

(a2b2+b2c2+c2a2)2\ge3a2b2c2(a2+b2+c2),

ami átrendezés után az

a4b4+b4c4+c4a4\gea4b2c2+b4c2a2+c4a2b2

alakot ölti. További átrendezés során látható, hogy az

{a^4(b^2-c^2)^2+b^4(c^2-a^2)^2+c^4(a^2-b^2)^2\over 2}\ge 0

egyenlőtlenséget kell igazolnunk, ami nyilvánvaló.

Vagyis S2\ge3, ahol egyenlőség csakis az a2=b2=c2 esetben állhat fönn. Az S összeg legkisebb lehetséges értéke tehát \sqrt{3}, mely értéket a=b=c=1/\sqrt{3} esetén veszi fel.


Statistics on problem B. 3821.
79 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:1 student.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:22 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley