Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3821. feladat (2005. április)

B. 3821. Az a, b, c pozitív számokra a²+b²+c²=1. Határozzuk meg az

$S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$

összeg legkisebb lehetséges értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Állítjuk, hogy S² $\ge$ 3(a²+b²+c²), vagyis hogy

$\Bigl({a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\over abc}\Bigr)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2).$

Ezzel ekvivalens, hogy

(a²b²+b²c²+c²a²)² $\ge$ 3a²b²c²(a²+b²+c²),

ami átrendezés után az

a⁴b⁴+b⁴c⁴+c⁴a⁴ $\ge$ a⁴b²c²+b⁴c²a²+c⁴a²b²

alakot ölti. További átrendezés során látható, hogy az

${a^4(b^2-c^2)^2+b^4(c^2-a^2)^2+c^4(a^2-b^2)^2\over 2}\ge 0$

egyenlőtlenséget kell igazolnunk, ami nyilvánvaló.

Vagyis S² $\ge$ 3, ahol egyenlőség csakis az a²=b²=c² esetben állhat fönn. Az S összeg legkisebb lehetséges értéke tehát $\sqrt{3}$ , mely értéket $a=b=c=1/\sqrt{3}$ esetén veszi fel.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 52 versenyző.

4 pontot kapott: 1 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 22 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai

79 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	22 versenyző.