Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3822. (May 2005)

B. 3822. Is it possible to obtain the array (1,3,8) starting from (2,5,13) by repeating the following steps: It is allowed to swap any two numbers in an array of three numbers (a,b,c), or replace the array by (a,b,2a+2b-c).

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A (2;5;13) számhármasban egy páros szám van, amely 4-gyel osztva 2 maradékot ad, valamint két páratlan szám, melyek összege 4-gyel osztva szintén 2 maradékot ad. Könnyű ellenőrizni, hogy a három számnak ez a tulajdonsága egy lépés során nem változik meg. Az egyetlen nem triviális eset az, ha az (a;b;c) hármasból az (a;b;2a+2b-c) számhármast hozzuk létre. Ha a és b páratlan, akkor 2a+2b-c nyilván páros, és 4-gyel osztva 2 maradékot ad, hiszen 2a+2b osztható 4-gyel. Ha b páros, akkor 2a+2b-c páratlan, és

a+(2a+2b-c)=3a+2b-c\equiv -a-c=-(a+c)\equiv 2\pmod{4}.

Hasonlóképpen érvelhetünk akkor is, ha a páros. Mivel az (1;3;8) számhármas nem rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, nem is kaphatjuk meg, akárhány lépést is hajtunk végre.


Statistics:

107 students sent a solution.
4 points:92 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005