Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3822. (May 2005)

B. 3822. Is it possible to obtain the array (1,3,8) starting from (2,5,13) by repeating the following steps: It is allowed to swap any two numbers in an array of three numbers (a,b,c), or replace the array by (a,b,2a+2b-c).

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A (2;5;13) számhármasban egy páros szám van, amely 4-gyel osztva 2 maradékot ad, valamint két páratlan szám, melyek összege 4-gyel osztva szintén 2 maradékot ad. Könnyű ellenőrizni, hogy a három számnak ez a tulajdonsága egy lépés során nem változik meg. Az egyetlen nem triviális eset az, ha az (a;b;c) hármasból az (a;b;2a+2b-c) számhármast hozzuk létre. Ha a és b páratlan, akkor 2a+2b-c nyilván páros, és 4-gyel osztva 2 maradékot ad, hiszen 2a+2b osztható 4-gyel. Ha b páros, akkor 2a+2b-c páratlan, és

a+(2a+2b-c)=3a+2b-c\equiv -a-c=-(a+c)\equiv 2\pmod{4}.

Hasonlóképpen érvelhetünk akkor is, ha a páros. Mivel az (1;3;8) számhármas nem rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, nem is kaphatjuk meg, akárhány lépést is hajtunk végre.


Statistics:

107 students sent a solution.
4 points:92 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005