KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3823. (May 2005)

B. 3823. Let x and y denote integers, such that 4x + 5y =7. Find the smallest value of 5|x|-3|y|.

(3 pont)

Deadline expired on 15 June 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltétel alapján

A=5|x|-3|y|=5|x|-3\Big|{7-4x\over 5}\Bigr|.

Ha x=1, akkor a feltételt kielégítő y nem egész szám, tehát elegendő az x\le0 és x\ge2 eseteket megkülönböztetnünk. Ha x\le0, akkor

A=-5x-3\Bigl({7-4x\over 5}\Bigr)=-{13\over 5}x-{21\over 5}.

Látható, hogy ha x értékét csökkentjük, akkor A értéke nő. Mivel az x=0 és x=-1 esetekben y nem egész, x\le0 esetén A értéke akkor lesz a lehető legkisebb, ha x=-2, y=3; ebben az esetben A=1. Ha x\ge2, akkor pedig

A=5x+3\Bigl({7-4x\over 5}\Bigr)={13\over 5}x+{21\over 5} > 1,

A lehetséges legkisebb értéke tehát 1, és ezt pontosan akkor veszi fel, ha x=-2, y=3.


Statistics:

107 students sent a solution.
3 points:65 students.
2 points:13 students.
1 point:21 students.
0 point:8 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley