Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3823. feladat (2005. május)

B. 3823. Legyenek x és y olyan egész számok, melyekre teljesül, hogy 4x+5y =7. Határozzuk meg 5|x|-3|y| legkisebb értékét.

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A feltétel alapján

A=5|x|-3|y|=5|x|-3\Big|{7-4x\over 5}\Bigr|.

Ha x=1, akkor a feltételt kielégítő y nem egész szám, tehát elegendő az x\le0 és x\ge2 eseteket megkülönböztetnünk. Ha x\le0, akkor

A=-5x-3\Bigl({7-4x\over 5}\Bigr)=-{13\over 5}x-{21\over 5}.

Látható, hogy ha x értékét csökkentjük, akkor A értéke nő. Mivel az x=0 és x=-1 esetekben y nem egész, x\le0 esetén A értéke akkor lesz a lehető legkisebb, ha x=-2, y=3; ebben az esetben A=1. Ha x\ge2, akkor pedig

A=5x+3\Bigl({7-4x\over 5}\Bigr)={13\over 5}x+{21\over 5} > 1,

A lehetséges legkisebb értéke tehát 1, és ezt pontosan akkor veszi fel, ha x=-2, y=3.


Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:65 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:21 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai