KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3824. (May 2005)

B. 3824. Each vertex of a tetrahedron is reflected in the centroid of the opposite face. Show that the volume of the tetrahedron formed by the reflections is at least four times that of the original tetrahedron.

(4 pont)

Deadline expired on 15 June 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a tetraéder csúcsai A,B,C,D, az ezekbe mutató helyvektorok pedig a,b,c,d. A BCD lap súlypontjának helyvektora (b+c+d)/3, ezért az A csúcs A' tükörképének helyvektora

a'={b+c+d\over 3}+\Bigl({b+c+d\over 3}-a\Bigr)={2b+2c+2d-3a\over 3}.

Hasonlóképpen a B,C,D csúcsok B',C',D' tükörképének helyvektora rendre

b'={2a+2c+2d-3b\over 3},\quad c'={2a+2b+2d-3c\over 3},\quad 
d'={2a+2b+2c-3d\over 3}.

Ezért

\overrightarrow{A'B'}={2a+2c+2d-3b\over 3}-{2b+2c+2d-3a\over 3}=
{5a-5b\over 3}=-{5\over 3}\overrightarrow{AB}.

Hasonlóképpen, \overrightarrow{A'C'}=-(5/3)\overrightarrow{AC} és \overrightarrow{A'D'}=-(5/3)\overrightarrow{AD}. Az A'B'C'D' tetraéder tehát hasonló az ABCD tetraéderhez, a hasonlóság aránya pedig 5/3. A tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata ezek szerint pontosan (5/3)3=125/27-szerese az eredeti tetraéder térfogatának. Mivel 125/27>4, az allítást bebizonyítottuk, egyenlőség pedig nem állhat fenn.


Statistics:

38 students sent a solution.
4 points:Bitai Tamás, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Dányi Zsolt, Darázs Zoltán, Gombkötő Tamás, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kecskeméti Szabolcs, Kiss-Tóth Christian, Kómár Péter, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Lorántfy Bettina, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóthmérész Lilla.
3 points:Cseh Ágnes, Csorba János, Gehér György, Kisfaludi-Bak Sándor, Klimaj Zoltán, Páldy Sándor, Poronyi Balázs, Szabó Levente, Szalóki Dávid.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley