KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3826. What kind of quadrilateral is the base of the truncated pyramid if every pair of space diagonals of the solid intersect each other?

(4 points)

Deadline expired on 15 June 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja az ABCD négyszög, fedőlapja pedig az A'B'C'D' négyszög, ahol az AA', BB', CC' és DD' egyenesek az O pontban metszik egymást. Legyen még az AC és BD átlók metszéspontja M, az A'C' és B'D' szakaszoké pedig M', ekkor M, M' és O egy egyenesre esnek, hiszen az A'B'C'D' négyszög az ABCD-ből O középpontú \alpha<1 arányú nagyítással kapható meg.

Az AC' és A'C testátlók metszéspontja legyen N. A BD' testátló egy pontban metszi az előbbi testátlókat tartalmazó ACO síkot. Ha tehát BD' metszi mind a két testátlót, akkor ugyanabban a pontban kell, hogy messe azokat, ami csakis az N pont lehet. Ugyanígy, a DB' testátló is át kell haladjon az N ponton. Az N pont tehát egyben a BD' és DB' testátlók metszéspontja is, vagyis a BDO síkra illeszkedik. Mivel az ACO és BDO síkok metszésvonala az OM egyenes, az N pont illeszkedik az OM egyenesre.

Vizsgáljuk most az ACC'A' trapézt. Az ANA' és CNC' háromszögek területe megegyezik, ami azt jelenti , hogy N felezi az N ponton AC-vel párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső szakaszát. Az O középpontú hasonlóság miatt tehát M felezi az AC szakaszt. Hasonlóképpen kapjuk azt is, hogy M felezi a BD szakaszt. Az ABCD négyszög átlói tehát felezik egymást, vagyis az alaplap szükségképpen paralelogramma.

Megfordítva, ha az alaplap paralelogramma, akkor az ANC és C'NA' háromszögek hasonlóságából, melynek aránya 1:\alpha, azt kapjuk, hogy az N pont az MM' szakasznak az a pontja, mely a szakaszt 1:\alpha arányban osztja. Ugyanez lesz érvényes a BD' és DB' testátlók N' metszéspontjára is, amiből következik, hogy N=N', a négy testátló tehát ugyanazon a ponton megy keresztül.


Statistics on problem B. 3826.
40 students sent a solution.
4 points:Blázsik Zoltán, Csató László, Cseh Ágnes, Eisenberger András, Gombkötő Tamás, Harkai Alexandra Dóra, Hartmann Zoltán, Jusztin Áron, Kiss-Tóth Christian, Knipl Diána, Kómár Péter, Kovács 111 Péter, Nagy 224 Csaba, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Petrás András, Poronyi Balázs, Strenner Balázs, Szabó 108 Tamás.
3 points:Bogár 560 Péter, Dobos Gábor, Farkas Ádám László, Gehér György, Kátai-Pál Bence, Korándi Dániel, Kovács 129 Péter, Kozma Márton, Kunovszki Péter, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Sommer Dániel, Szilvási Tibor.
2 points:4 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley