Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3827. (May 2005)

B. 3827. The line segment AD touches the circumscribed circle of the triangle ABC, and the line segment AC touches that of the triangle ABD. Prove that AC2.BD=AD2.BC.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje k1 és k2 az ABC illetve ABD háromszög köré írható kört, melyek sugara rendre r1 és r2. Ha a BAC illetve BAD szöget \gamma és \delta jelöli, akkor \gamma a k1 körben a BC húrhoz tartozó kerületi szög, vagyis a szinusz tétel szerint BC=2r1sin \gamma. Hasonlóképpen kapjuk, hogy BD=2r2sin \delta. Mivel AD érinti a k1 kört, \delta egyben a k1 körben az AB húrhoz tartozó kerületi szög is, ami miatt AB=2r1sin \delta, és ugyanígy AB=2r2sin \gamma is fennáll. Végül az \alpha=\gamma+\delta jelöléssel élve, \alpha a k1 körben az AC húrhoz tartozó kerületi szög, míg a k2 körben az AD húrhoz tartozik. Ezért AC=2r1sin \alpha és AD=2r2sin \alpha. Ezek alapján

AC2.BD=(2r1sin \alpha)2(2r2sin \delta)=(4r1r2sin2\alpha)(2r1sin \delta)=(4r1r2sin2\alpha)AB

és

AD2.BC=(2r2sin \alpha)2(2r1sin \gamma)=(4r1r2sin2\alpha)(2r2sin \gamma)=(4r1r2sin2\alpha)AB,

bizonyítván az állítást.


Statistics:

84 students sent a solution.
4 points:72 students.
3 points:8 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005