KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3828. Is it true that if the product of the sides of a quadrilateral equals the square of its area then the quadrilateral has at least two right angles?

(4 points)

Deadline expired on 15 June 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tekintsünk egy szimmetrikus trapézt, amelynek alapjai a és b, szárai pedig egységnyi hosszúak. A trapéz m magasságára a Pithagorasz tétel alapján

m^2=1^2-\Bigl({a\over 2}-{b\over 2}\Bigr)^2=1-{(a-b)^2\over 4}

adódik. Mivel a trapéz területének kétszerese 2T=(a+b)m, a T2=ab feltétel pontosan akkor teljesül, ha

(a+b)^2\Bigl(1-{(a-b)^2\over 4}\Bigr)=4ab,

(a+b)^2-4ab=(a+b)^2{(a-b)^2\over 4},

4(a-b)2=(a+b)2(a-b)2,

vagyis ha a=b, vagy pedig (a+b)2=4, a+b=2. Ha például a=3/2 és b=1/2, akkor létezik a szóban forgó trapéz, teljesül rá a feltétel, de egyetlen derékszöge sincsen. Az állítás tehát nyilván nem igaz.


Statistics on problem B. 3828.
44 students sent a solution.
4 points:Békéssy Herman András, Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Dobos Gábor, Gehér György, Halász Veronika, Horváth 017 Zoltán, Károlyi Márton, Kiss-Tóth Christian, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Mátyás Péter, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Strenner Balázs, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Ureczky Bálint, Zotter Zsuzsanna.
3 points:Estélyi István, Gyenizse Gergő, Szegvári Gábor.
2 points:6 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley