KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3830. (May 2005)

B. 3830. Consider the centres of the squares ABDE and BCGH drawn inside above the sides AB and BC of a triangle ABC, and consider the midpoints of the line segments AC and DH. What is the shape formed by these four points?

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két négyzet középpontja A* és C*, az AB,BC,CA szakaszok felezőpontja rendre C',A',B', a BH,BD,DH szakaszoké pedig rendre X,Y,Z. Ekkor felírhatjuk, hogy \ora{BB'}=\ora{BA'}+\ora{BC'}, \ora{BA^*}=\ora{BC'}+\ora{BY}, \ora{BC^*}=\ora{BX}+\ora{BA'} és \ora{BZ}=\ora{BX}+\ora{BY}. Ezért

\ora{C^*B'}=\ora{BB'}-\ora{BC^*}=\ora{BC'}-\ora{BX}=\ora{XC'}

és hasonlóképpen

\ora{B'A^*}=\ora{C^*Z}=\ora{BY}-\ora{BA'}=\ora{A'Y}.

Innen rögtön látszik, hogy a C*ZA*B' négyszög (esetleg elfajuló) paralelogramma. Mivel pedig a BA'Y háromszög a BXC' háromszögből 90o-os elforgatással keletkezik, a \ora{C^*Z} vektort is 90o-os elforgatással kapjuk meg a \ora{C^*B'} vektorból, ami azt jelenti, hogy a szóban forgó paralelogrammának két szomszédos oldala egyenlő hosszú és egymásra merőleges. A négy pont tehát egy négyzetet határoz meg.


Statistics:

85 students sent a solution.
5 points:73 students.
4 points:6 students.
3 points:4 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley