Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3830. (May 2005)

B. 3830. Consider the centres of the squares ABDE and BCGH drawn inside above the sides AB and BC of a triangle ABC, and consider the midpoints of the line segments AC and DH. What is the shape formed by these four points?

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két négyzet középpontja A* és C*, az AB,BC,CA szakaszok felezőpontja rendre C',A',B', a BH,BD,DH szakaszoké pedig rendre X,Y,Z. Ekkor felírhatjuk, hogy \ora{BB'}=\ora{BA'}+\ora{BC'}, \ora{BA^*}=\ora{BC'}+\ora{BY}, \ora{BC^*}=\ora{BX}+\ora{BA'} és \ora{BZ}=\ora{BX}+\ora{BY}. Ezért

\ora{C^*B'}=\ora{BB'}-\ora{BC^*}=\ora{BC'}-\ora{BX}=\ora{XC'}

és hasonlóképpen

\ora{B'A^*}=\ora{C^*Z}=\ora{BY}-\ora{BA'}=\ora{A'Y}.

Innen rögtön látszik, hogy a C*ZA*B' négyszög (esetleg elfajuló) paralelogramma. Mivel pedig a BA'Y háromszög a BXC' háromszögből 90o-os elforgatással keletkezik, a \ora{C^*Z} vektort is 90o-os elforgatással kapjuk meg a \ora{C^*B'} vektorból, ami azt jelenti, hogy a szóban forgó paralelogrammának két szomszédos oldala egyenlő hosszú és egymásra merőleges. A négy pont tehát egy négyzetet határoz meg.


Statistics:

85 students sent a solution.
5 points:73 students.
4 points:6 students.
3 points:4 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005