KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3830. Consider the centres of the squares ABDE and BCGH drawn inside above the sides AB and BC of a triangle ABC, and consider the midpoints of the line segments AC and DH. What is the shape formed by these four points?

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a két négyzet középpontja A* és C*, az AB,BC,CA szakaszok felezőpontja rendre C',A',B', a BH,BD,DH szakaszoké pedig rendre X,Y,Z. Ekkor felírhatjuk, hogy \ora{BB'}=\ora{BA'}+\ora{BC'}, \ora{BA^*}=\ora{BC'}+\ora{BY}, \ora{BC^*}=\ora{BX}+\ora{BA'} és \ora{BZ}=\ora{BX}+\ora{BY}. Ezért

\ora{C^*B'}=\ora{BB'}-\ora{BC^*}=\ora{BC'}-\ora{BX}=\ora{XC'}

és hasonlóképpen

\ora{B'A^*}=\ora{C^*Z}=\ora{BY}-\ora{BA'}=\ora{A'Y}.

Innen rögtön látszik, hogy a C*ZA*B' négyszög (esetleg elfajuló) paralelogramma. Mivel pedig a BA'Y háromszög a BXC' háromszögből 90o-os elforgatással keletkezik, a \ora{C^*Z} vektort is 90o-os elforgatással kapjuk meg a \ora{C^*B'} vektorból, ami azt jelenti, hogy a szóban forgó paralelogrammának két szomszédos oldala egyenlő hosszú és egymásra merőleges. A négy pont tehát egy négyzetet határoz meg.


Statistics on problem B. 3830.
85 students sent a solution.
5 points:73 students.
4 points:6 students.
3 points:4 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley