KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3833. Given the points A, B, C and D on the plane, construct a circle passing through A and B, such that the tangents drawn to it from C and D are equal.

(3 points)

Deadline expired on 17 October 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje O a keresett kör középpontját, r a sugarát. Pithagorasz tétele alapján az O ponttól d>r távolságra lévő pontból a körhöz húzott érintőszakasz hossza \sqrt{d^2-r^2}, vagyis az O pontnak rajta kell lenni mind az AB, mind a CD szakasz felezőmerőlegesén. Általános esetben ennek a két egyenesnek pontosan egy közös pontja van, ekkor a feladat megoldható (és egyetlen megoldása van) pontosan akkor, ha ettől a ponttól a C,D pontok távolabb esnek, mint A és B. Ha ellenben az AB és a CD szakaszok párhuzamosak egymással, akkor a két egyenesnek vagy egyáltalán nincs közös pontja (nincs megoldás), vagy a két egyenes egybeesik, mely esetben az A,C pontpárt a szóban forgó egyenesre tükrözve kapjuk a B,D pontpárt. Ez utolsó esetben végtelen sok megoldás létezik, ha vagy a négy pont egy trapéz csúcsait alkotja, vagy pedig ha egy egyenesre esnek és A,B a C,D pontok közé esik. Ha viszont a C,D pontok esnek az A,B pontok közé, akkor nyilván nem lesz megoldása a feladatnak. A megoldás során feltételeztük, hogy a négy adott pont különböző, azon esetek diszkutálását, amikor két pont egybeesik, az olvasóra bízzuk.


Statistics on problem B. 3833.
321 students sent a solution.
3 points:Árvay Anna, Bartha Éva Lili, Bogár 560 Péter, C. Szabó Bence, Cséke Balázs, Cserép Gergely, Földes Imre, Fülöp Bálint, Grósz Dániel, Halász Máté, Horovitz Gábor, Huszár Enikő Anna, Kirilly György, Kiss 111 Viktor, Kiss 243 Réka, Korándi Dániel, Kovács 333 Veronika, Kovács 999 Krisztina, Kőkuti András, Kristóf Panna, Kriván Bálint, Kunovszki Péter, Lamm Éva, Lovász László Miklós, Lukácsi Nóra, Majoros Csilla, Majoros Péter, Müller Márk, Nagy 314 Dániel, Rácz Zsuzsa, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szendrei Balázs, Szentandrási István, Szívós Eszter, Szűcs Alexandra, Ta Phuong Linh, Tóth 126 Tibor, Tóth 989 Beáta, Tóth Réka Judit, Tóthmérész Lilla, Urbin Ágnes, Váci Tibor, Varga 111 Péter, Varga 171 László, Varga 868 András, Veres 453 Judit, Weisz 111 István, Werner Miklós, Zöld Péter.
2 points:139 students.
1 point:92 students.
0 point:38 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley