KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3834. (September 2005)

B. 3834. What is the largest value of the whole number n, such that with the help of two appropriately chosen weights and an equal-arm balance it is possible to determine the mass of every object that weighs a whole number of kilograms from 1 to n? (It is allowed to carry out as many measurements as needed, only using the two weights and the object to be weighed, and neither the weights nor the objects to be weighted are allowed to be cut in parts.)

(5 pont)

Deadline expired on 17 October 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a segédsúlyok tömege rendre x1,x2,x3,x4. A mérleg csak olyan esetben lehet egyensúlyban, ha a ráhelyezett tárgy tömege \varepsilon1x1+\varepsilon2x2+\varepsilon3x3+\varepsilon4x4 alakú, ahol \varepsiloni\in{-1,0,1}. Ilyen módon 81 nem feltétlenül különböző számot képezhetünk, melyek között szerepel a 0, és minden számmal együtt annak ellentettje is, megegyező multiplicitással. Minden egyes mérendő tárgyat tehát legfeljebb 40 különböző tömeggel tudunk összehasonlítani, melyeket jelöljön a_1<a_2<\ldots<a_k (k\le40). Legyen továbbá a0=0 és ak+1=ak+2. Ekkor az (ai,ai+1) nyílt intervallumok mindegyikébe legfeljebb egy mérendő tárgy tömege eshet, máskülönben lenne két tárgy, melyek tömege között méréseink alapján nem tudunk különbséget tenni. Ezért n\lek+(k+1)\le81.

Ebből a gondolatmenetből az is látszik, hogy n=81-gyel a feladat pontosan akkor oldható meg, ha az xi számokat meg tudjuk úgy választani, hogy a belőlük képzett ai sorozatra k=40 legyen, és ai=2i teljesüljön minden 1\lei\le40 esetén. Most hívjuk segítségül a klasszikus feladat megoldását: ha t darab súlyunk van, melyekre xi=3i-1 (1\lei\let), akkor a belőlük képezhető \sum_{i=1}^t\varepsilon_ix_i számok közé esik valamennyi egész szám 1 és (3t-1-1)/2 között, amint az t szerinti teljes indukcióval könnyen megmutatható. A tömegeket megduplázva tehát x1=2, x2=6, x3=18, x4=54 választás mellett az ai sorozat éppen a 2,4,6,\ldots,80 számokból fog állni. Az n egész szám legnagyobb értéke tehát 81.


Statistics:

249 students sent a solution.
5 points:Beck Zoltán, Blázsik Zoltán, Bóra Eszter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csima Géza, Csóka Győző, Dudás László, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Herczegh Péter, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kassay Gábor, Kiss 111 Viktor, Kiss 243 Réka, Korándi Dániel, Kovács 129 Péter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Magda Gábor, Milotai Zoltán, Muntag Lőrinc, Nagy 314 Dániel, Nigicser Bálint, Peregi Tamás, Radnai András, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szebeni Szilveszter, Szegvári Gábor, Szendrei Balázs, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tóth Réka Judit, Véges Márton, Werner Miklós.
4 points:19 students.
3 points:57 students.
2 points:35 students.
1 point:58 students.
0 point:37 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley