Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3836. (September 2005)

B. 3836. Represent the values of the number pair p, q on the coordinate plane, such that the equation x2-2px+q=0

a) has two roots;

b) is satisfied by the number 2;

c) is satisfied by the single number 2.

(4 pont)

Deadline expired on October 17, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletnek pontosan akkor lesz két különböző valós megoldása, ha diszkriminánsa, D=(-2p)2-4q=4(p2-q) pozitív, vagyis ha q<p2. A megfelelő számpárokat tehát a q=p2 egyenletű parabola görbéje alatt elhelyezkedő pontokkal ábrázolhatjuk.

Az egyenletnek pontosan akkor lesz gyöke a kettő, ha x2-2px+q=(x-2)(x-a) teljesül valamely a valós számra. Ekkor 2p=a+2, q=2a, ahonnan q=4p-4, és minden p,q számpárhoz, amely ezt az összefüggést kielégíti, létezik megfelelő a szám. Ezeket a pontpárokat tehát a q=4p-4 egyenletű egyenes pontjaival ábrázolhatjuk, ennek az egyenesnek a meredeksége 4, a p tengelyt az (1,0), a q tengelyt pedig a (0,-4) pontban metszi.

Végül az egyenletnek pontosan akkor lesz kettő az egyetlen gyöke, ha x2-2px+q=(x-2)2, vagyis ha 2p=q=4. Most tehát csak egyetlen számpár jó, melyet a (2,4) ponttal szemléltethetünk, ez természetesen illeszkedik az előbb vázolt egyenesre.


Statistics:

334 students sent a solution.
4 points:216 students.
3 points:67 students.
2 points:31 students.
1 point:15 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005