KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3836. Represent the values of the number pair p, q on the coordinate plane, such that the equation x2-2px+q=0

a) has two roots;

b) is satisfied by the number 2;

c) is satisfied by the single number 2.

(4 points)

Deadline expired on 17 October 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenletnek pontosan akkor lesz két különböző valós megoldása, ha diszkriminánsa, D=(-2p)2-4q=4(p2-q) pozitív, vagyis ha q<p2. A megfelelő számpárokat tehát a q=p2 egyenletű parabola görbéje alatt elhelyezkedő pontokkal ábrázolhatjuk.

Az egyenletnek pontosan akkor lesz gyöke a kettő, ha x2-2px+q=(x-2)(x-a) teljesül valamely a valós számra. Ekkor 2p=a+2, q=2a, ahonnan q=4p-4, és minden p,q számpárhoz, amely ezt az összefüggést kielégíti, létezik megfelelő a szám. Ezeket a pontpárokat tehát a q=4p-4 egyenletű egyenes pontjaival ábrázolhatjuk, ennek az egyenesnek a meredeksége 4, a p tengelyt az (1,0), a q tengelyt pedig a (0,-4) pontban metszi.

Végül az egyenletnek pontosan akkor lesz kettő az egyetlen gyöke, ha x2-2px+q=(x-2)2, vagyis ha 2p=q=4. Most tehát csak egyetlen számpár jó, melyet a (2,4) ponttal szemléltethetünk, ez természetesen illeszkedik az előbb vázolt egyenesre.


Statistics on problem B. 3836.
334 students sent a solution.
4 points:216 students.
3 points:67 students.
2 points:31 students.
1 point:15 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley